DÉRIVÉES 
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est très grand (en valeur absolue), c’est que l’accroissement de y 
est très grand par rapport à celui de x ; donc la croissance ou la 
décroissance de y est très rapide. Si la valeur absolue de y est très 
petite, la croissance ou décroissance de y est très lente. A un double 
point de vue donc, la connaissance du rapport y nous donnerait, 
sur la variation de y(x), d’utiles indications. 
Mais ces indications n’auront évidemment un intérêt que si h (et, 
par conséquent, k, d'après Je n° 396) est très petit (positif ou né 
gatif). En effet, si h n’est pas très petit, nous ne pouvons rien 
dire de précis sur la rapidité avec laquelle varie y dans l’intervalle 
x 0 à x 0 -\-h, puisque celte rapidité est susceptible de varier elle-même 
quand x parcourt (') l’intervalle. Ainsi, dans le cours d’une heure 
la rapidité d’un train peut changer bien des fois, et si, parce que 
le train a parcouru finalement 90 kilomètres, je dis qu’il a « fait du 
90 à l’heure »je ne définis ainsi qu’une vitesse moyenne et fictive : 
tantôt, en réalité, le train a fait plus et tantôt moins. Pendant une 
durée très courte, au contraire, — par exemple un millième de 
seconde, — je puis admettre que la rapidité n’a pas le temps de 
changer, en sorte que l’espace parcouru par le train me donne bien 
une idée de sa vitesse effective. Plus l’intervalle h sera petit, plus 
le rapport j indiquera avec exactitude la rapidité ( 2 ) de la variation 
de la fonction au moment précis où x passe par la valeur x Q . 
405. — Supposons donc que nous considérions des accroisse- (*) 
(*) Sur cette assimilation d’une variable x à un point (extrémité d’une 
abscisse) mobile sur une droite, voir supra n° 3ga. 
( 2 ) C’est en recourant ainsi à la considération du mouvement que 
Newton définissait la dérivée, qu’il appelait fluxion.Considérant les quan 
tités fonctions de x (qu’il appelait fluentes) comme des points mobiles 
(voir la note précédente) il en calculait les vitesses pour une variation 
arbitrairement petite (et, à la limite, infiniment petite) de la variable : 
« velocitates quibus singulæ Fluentes augentur per motum generantem 
(quas velocitates appello Fluxiones, aut simpliciter velocitates vel celeritates) 
exprimuntur eisdem litteris puncto auctis, sic à, x. y et z [la variable 
indépendante était désignée part] » (Methodus fluxionum, Opuscula Mathem., 
p. 54. Cf. supra, p. 383, note 1). La notation que propose ici Newton 
n’a point passé dans l’usage. — Sur la définition rigoureuse de la vitesse, 
voir Trois. Liv., fin du ch. n.