3g8 CALCUL DES FONCTIONS
raents h et k de plus en plus et arbitrairement (*) petits : alors, dans
la fraction j , les deux termes deviendront plus petits que n’im
porte quel nombre donné ; mais la fraction j pourra, quant à elle,
se rapprocher d’un nombre déterminé (ni infiniment petit, ni infi
niment grand); et ce nombre, alors, « limite de ^pour h = o »,
sera la mesure de la vitesse de la variation de y. Comment le rap
port j est en effet susceptible d’avoir une limite, c’est ce dont nous
nous rendrons facilement compte en remarquant que puisque y
est fonction algébrique de x, l’accroissement k est lui-même
fonction algébrique de A, et fonction égale à o pour h = o :
ainsi k est égal à une expression algébrique telle que par exemple :
k — 2 h H- 3A 2 ou k - y—^2, etc. Les valeurs de j correspon
dant à ces exemples sont :
2 h
k 2/1 —H 3A 2 > k 1 —j— h' 1 2
k h a l ’ h U = TTfTp ;
on voit que, lorsque h se rapproche de o, ces valeurs se rapprochent
d’une valeur déterminée, 2,bien que la fraction J^dont les deux termes
deviennent arbitrairement petits, tende à prendre (si on ne la
simplifie pas) la forme dépourvue de sens - ,
Lorsque la limite de ^ existe (*), eHe est appelée dérivée de la
fonction y pour x = x 0 . La valeur de la dérivée peut naturellement
varier, et varie en général, avec la valeur de x 0 : elle, est donc
fonction de. x 0 .
406. Exemples de dérivées. — Considérons la fonction
y = x- au voisinage d’une valeur quelconque x 0 de x. Pour x = x 0 ,
nous avons y = y 0 = x*. Pour x = x 0 -H h, nous avons
if — Jo + k = (ar 0 -|- hy.
(') -^- u sens de la page 55, note t.
( 3 ) Voir au n° 407 (Remarque) ce qu’il faut au juste entendre par là.