DÉRIVÉES 
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En conséquence : 
к = {x 0 -h Л) 2 — x; — 2x 0 h h 2 ; ~ — 2X 0 4- /г ; 
lorsque Д tend vers o, le rapport y admet la limite 2x 0 : cette li 
mite est la dérivée de la fonction pour x - - x 0 . D’ailleurs x 0 est 
une valeur quelconque de x : nous pouvons donc énoncer le résul 
tat suivant : pour toute voleur de x, lu fonction y = æ 2 admet une 
dérivée égale à ix. 
Considérons la fonction y — y/x au voisinage de x 0 . Nous avons 
Jo — s/ x o’> Jo H- к = \/x 0 -)- Л, h = \/x 0 -h h — уЛг 0 
d’où Гоп déduit (') (d’après le n° 303) к ~ - - — —. 
V x o H - h -I— 
Lorsque h tend vers o, le rapport y admet une limite égale à 
—7=. Nous énoncerons donc le résultat suivant : pour toute va- 
2 \X 0 
leur de x, la fonction y — y x admet {ou a) une dérivée égale à 
i 
2 \Jx 
407. Définition générale de la dérivée. Notations. — Nous 
avons vu comment on définit la dérivée pour une valeur x 0 
de æ; cette valeur étant quelconque, il est permis de la désigner 
par la lettre æ, sans indice, ainsi que nous l’avons fait dans les deux 
énoncés donnés ci-dessus. On formule alors, d’ordinaire, la défi 
nition de la dérivée dans les termes et avec les notations suivantes : 
Soit x une valeur quelconque de la variable indépendante (au 
voisinage de laquelle la fonction est supposée univoque et continue) 
et y la valeur correspondante de la fonction. A partir de la valeur 
ccje donne à la variable indépendante un accroissement (positif 
ou négatif) égal à \x : il en résulte pour y un accroissement Aj. 
AV 
Si le rapport —■ admet une limite (et une limite unique) lorsque- 
¡Л 'k 
(*) On le voit en faisant a = x 0 + h et ¡3 = dans l’identité- 
— — Ot ■ 3 e , 
\Ja. — y/’8 = ~7= 7= q u * se déduit immédiatement des identités (XV), 
V* + vo* 
du n° 3o3.