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• CALCUL DES FONCTIONS 
412. Dérivée logarithmique. — On appelle dérivée loga- 
y 
rithmique d’une fonction y (vide infra 432) le rapport y . L’intérêt 
de cette expression lient au théorème suivant ; 
La dérivée logarithmique d’un produit est égale à la somme des 
dérivées logarithmiques des facteurs du produit. 
Considérons d’abord, en effet, le produit y des deux faleurs u 
et v. Nous tirons de Légalité (i) [en en divisant les deux membres 
y u > y' 
par y] Considérons maintenant le produit z = uvw ; 
z y 
posant y = uv, nous avons z = yw, - = — 
ce qui pr 
écède : — = h 
— ; donc — 
v z 
w 
+" 
10 
v' IV 
— ~t~ — 
V w 
; mais, d’après 
De proche en proche, nous démontrerons ainsi que le théorème 
est exact, quel que soit le nombre des facteurs du produit. 
413. Dérivée d’une puissance entière de x. — Soit y — x m 
une puissance entière de x. La dérivée logarithmique de x m est 
égale à m fois la dérivée logarithmique du facteur x : or cette der 
nière dérivée logarithmique n’est autre que ~ puisque la dérivée de 
x est (') i. Donc nous avons : 
/ _ rn m 
y X ’ 
d’où 
, mx m 
y — —— = mx m *. 
Dérivée d’un polynôme. — Un polynôme étant une somme de 
puissances de x multipliées par des constantes, nous saurons cal 
culer la dérivée d’un polynôme. Ainsi la dérivée du polynôme 
y = 3a; 3 x 1 + üx -f- a6 2 est y' = 3.3a; 2 — <xx -h a = gx 2 — ix -h a. 
414. Dérivée d’un quotient. — La dérivée du quotient ~ de 
de deux fonctions de x est égal à U ~- ^. 2 VU ■ 
En effet, lorsque x subit 1 accroissement Ax, nous avons : 
a -+■ Au u 
Ay — 
Av 
(') Le rapport de l'accroissement \x de x à cet accroissement —même 
est égal à i.