DÉRIVÉES 
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réduisant au même dénominateur, il vient : 
vAa — uAv t A y 1 ax ax 
v[v H- Av) ’ Ax v* -+- vAv 
Av 
Lorsque Ax tend vers o, le numérateur de la dernière fraction; 
se rapproche de plus en plus de vu' — uv', tandis que le dénomi- 
nateur se rapproche de n 2 ; donc ^ admet une limite qui est 
va 1 — uv 1 
415. Application. — Soit à calculer la dérivée de l’inverse d’une 
puissance entière, x m , de x ; nous poserons u= i, v = x m , d’où 
u 1 = o, v' == rnx m_1 , et nous aurons : 
En introduisant des exposants négatifs (n° 137), nous présen 
terons comme il suit ce résultat. Posons rn ! = — m [m' est alors 
négatif) : nous avons 
constatons donc que la dérivée de x m ' est m'x m ' 1 : la règle qui 
donne cette dérivée est celle même qui donne la dérivée de x m pour 
m entier positif. 
Dérivée d’une fonction rationnelle. — Sachant calculer la déri 
vée d’un quotient et la dérivée d’un polynôme quelconque, nous 
saurons calculer la dérivée d’une fonction rationnelle quelconque. 
416. Dérivée d’une fonction inverse. — Soit y fonction de x\ 
tous deux vers o. D’autre part, la dérivée de la fonction inverse 
n° 393) x de y est la limite du rapport Mais, quels que soient 
Ax i 
Ax et A y, on a ^ ^ ; cette égalité subsistant (*) lorsque Ax 
Ax 
(M Les théorèmes généraux sur les limites que nous énoncerons en 
détail dans notre Troisième Livre, conduisent immédiatement à cette 
conclusion.