DÉRIVÉES
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égalité qui nous donne la réglé de dérivation d'une fonction de
fonction (pu fonction composée).
Application. — Soit à calculer la dérivée de y = d\ -|_ X K Je
pose i + x- = u, et j’ai alors
y = du, d’où j', ( = —-pz (n° 406), u, = dérivée de i + œ' 2 = aæ,
2 V«
X
donc ;
y. =J U =
i du d i x 2
La même méthode permettra de calculer la dérivée d’une racine
d'ordre quelconque portant sur un polynôme en x ou sur une fonc
tion rationnelle.
418. Dérivée d’une puissance rationnelle de x. — Consi-
p
dérons la fonction y = x r ‘, où p et q sont des nombres entiers
quelconques positifs ou négatifs. Pour calculer sa dérivée, nous
poserons æv — u. Nous aurons d’après les n os 413, 415, 416 :
donc
Posant dès lors - = m, nous pourrons énoncer la proposition
suivante : Quel que soit le nombre rationel (positif ou négatif) m,
la dérivée de x m est toujours égale à mx m ~ l . Celte règle ne diffère
pas de celle qui a été donnée au n° 413 pour m entier positif.
419. Signe de la dérivée. Maxima et minima. — Nous
venons d’exposer les méthodes au moyen desquelles on calculera
les dérivées des fonctions algébriques explicites. Il nous faut voir
maintenant (ou commencer à voir) quel usage nous pourrons faire
de ces dérivées.
Soit y une fonction univoque, continue, et admettant une dérivée
continue dans un intervalle a, b (vide 391).
Il résulte de la définition même de la dérivée (n° 407) que si,
pour x = Xo, la fonction y admet une dérivée positive, elle est
croissante ; si elle admet une dérivée négative elle est décroissante.