DÉRIVÉES far* 
où l’on aurait y'{x 0 ) = o, y"{x 0 ) — o, y w {æ 0 ) =■. o, on ferait inter 
venir la dérivée d’ordre 4 et ainsi de suite ( 1 ). 
420. Théorème des accroissements finis. — L’application 
que nous venons d’indiquer n’est pas la seule, loin de là, à laquelle 
donne lieu le calcul des dérivées. Nous allons voir, en effet, sans 
tarder que la notion de dérivée joue un rôle de premier ordre dans 
tous les problèmes essentiels de l’algèbre et de l’analyse. Mais, avant 
d’aller plus loin, faisons tout d’abord une remarque qui se rat 
tache directement à la définition de la dérivée. 
Nous avons dit que la dérivée mesure, en quelque manière, la vi 
tesse de la variation de la fonction dans un intervalle x 0 — h, x 0 H- h; 
mais ensuite nous avons restreint cet intervalle et, en faisant tendre h 
vers o, nous l’avons rendu « infiniment petit ». Ainsi la connais 
sance de la valeur de la dérivée pour une valeur déterminée x 0 dex 
ne pourra, semble-t-il, rien nous apprendre à elle seule sur la 
variation de la fonction dans un intervalle fini (non infiniment 
petit) contenant x 0 . 
Non, sans doute, nous ne pourrons rien déduire de cette valeur, 
si nous choisissons au hasard l’intervalle et la valeur x ü . Mais 
nous pouvons démontrer la proposition suivante qui est, nous le 
verrons plus tard, grosse de conséquences ; Si f{x) est dans l'inter 
valle a, h, une fonction continue pourvue d'une dérivée, il existe 
un nombre x« de l'intervalle tel que l'on a l’égalité 
Ainsi le rapport, à l’accroissement b— a de la variable, de l’ac 
croissement correspondant de la fonction, est mesuré par la valeur 
prise par la dérivée en un point (au moins) intérieur à l’inter 
valle a, b. 
(*) La discussion qui précède est faite dans l’hypothèse où la fonction 
y[x] et sa dérivée, — la fonction y' — f (x) — sont toutes deux uni 
voques et continues au voisinage de la valeur Xq. Dans le cas où il n’en 
est pas ainsi, une étude spéciale est nécessaire pour voir comment se 
comporte la fonction. Ainsi la fonction y =s xfx, dont la dérivée, 
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égale à - \jx, s’annule pour x — o, ne présente, pour cette valeur de x 
ni maximum, ni minimum, et n’est ni croissante, ni décroissante : elle 
cesse d’exister pour x négatif et la valeur x = o est pour elle une valeur 
critique au sens du n° 3g i.