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CALCUL DES FONCTIONS
Pour démontrer ce théorème, nous ferons d’abord la remarque
suivante : Si une fonction F(ce), univoque, continue et admettant une
dérivée continue, dans l'intervalle a, h, s'annule pour x = a et
x = b, sa dérivée s’annule pour une valeur x 0 , au moins, entre
a et b.
En effet ( 4 ), si F(æ) était constamment nulle lorsque x varie de
a à b, cette fonction serait constante et sa dérivée serait nulle dans
• tout l’intervalle. Si F(x) n’est pas constamment nulle, elle prend
entre a et b des valeurs positives ou négatives. Admettons qu’elle
prenne des valeurs positives : devant redescendre vers o, lorsque x
s’approche de b, elle prend nécessairement ( 2 ), pour une valeur
de x comprise entre a et b, une valeur positive plus grande que
toutes les autres ; elle passe, en d’autres termes, par un maximum,
auquel correspond une valeur nulle de la dérivée. Pareillement,
si F(îc) prend des valeurs négatives entre a et b, cette fonction doit
passer par un minimum. Dans les deux cas, F 7 (x) est nulle pour
une valeur £c 0 comprise entre a et b.
Ceci dit, posons- — m, et considérons la fonction ( 3 )
de x
F (x) = J\x) ■— f(a) — m(x — a).
Cette fonction est continue et admet une dérivée continue de
même que f{x). D’ailleurs elle s’annule (il est facile de le vérifier)
pour x = a et pour x = b. Donc sa dérivée, qui n’est autre que
F'(x) =f(x) — m, s’annule pour une certaine valeur x 0 de x com
prise entre a et b ; pour cette valeur on a
f{x 0 ) = m =
m z-Æ
ce qui démontre le théorème.
421. Racines multiples dune équation. — La consi
dération des dérivées simplifie considérablement, comme nous (*)
(*) Nous nous bornons ici à esquisser une démonstration que seule la
théorie complète de la continuité (telle que nous le présenterons dans
notre Troisième Livre) permet de rendre tout à fait rigoureuse.
( 2 ) Nous admettrons a priori ce fait qui paraît intuitif • il peut cepen
dant et doit être établi par une démonstration.
( 3 ) m est un nombre indépendant de x ; c’est une constante.
