DÉRIVÉES
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l'allons voir, l’étude des équations, polynomales ou autres, qui
ont des racines multiples.
Soit f{x) = o une équation polynomale (‘) dont un nombre x y est
racine d’ordre a (356). Nous avons vu que lorsqu'il en est ainsi, le
polynôme/(x) est divisible par [x — ce,)“ : nous avons donc
/(*) = {x~ Xi)* . <p(x),
0[x étant un polynôme. Nous en déduisons, en appliquant la règle
de dérivation des produits
f'{x) = a(a? — aq) a_ 1 . <î{x) -+- [x — x,) a . cp'(x)
= (,x — a’,) 5 ' -1 [aç(ar) -f- (.t — x t ) o'(x)],
égalité qui montre que f[x) est divisible par la puissance (x—£Ci) x_1 .
Réciproquement, si Xi est racine commune aux équations
f(x) = o et f \x) = o, cette racine est sûrement une racine mul
tiple de f(x). En effet nous aurons f[x) = (x — X\) . cp(x), v(x)
étant un polynôme. Donc, en dérivant :
f(x) = o(x) -f- (x — x t ) ? '(x) ;
mais on suppose f\x) est divisible par (x— ccj); donc y{x), reste
delà division de f'{x) par (x — Xi) [n° 372], est aussi divisible
par {x — £Ci), De là résulte que f{x) est divisible par [x — x t ) 2
et admet Xi comme racine multiple (double au moins).
On parviendra à des résultats analogues si l’on considère les
racines imaginaires de f{x) (vide 357). Si le polynôme f[x) est di
visible par l’expression (x 2 -H rjyx-^kyŸ [c’est-à-direcontient celte
puissance dans sa décomposition en facteurs premiers, vide n" 373],
la dérivée f{x) est divisible par l’expression (tc 2 -f- giX -h ki)^ ~ 1 .
Nous exprimerons ces faits en disant que l’équation f (x) = a
— qui sera dite équation dérivée de l’équation J (x) = o —
admet, parmi ses racines toutes les racines, multiples, réelles ou ima
(*) Nous ne nous occuperons, pour simplifier, que des équations poly
nomales. Tout ce que nous allons dire dans ce numéro, pourra cependant
être appliqué à des équations transcendantes f x) = o dont le premier
membre est fonction univoque et continue de x au voisinage des valeurs
x u x-i, etc. : il suffira de remplacer partout le mot « polynôme » par le
mot « fonction continue » (cf. n° 4^6).
