4i4 
CALCUL DES FOACTIOVS 
427. Dérivée ( J ) de a x . — Soit a un nombre positif, que nous 
prendrons, pour fixer les idées, supérieur à i. Afin de calculer la 
dérivée de la fonction y = a x , donnons à æ, à partir d’une valeur 
quelconque de cette variable, un accroissement h. L’accroissement 
к de y est 
, ,, , , , 1( . h a h — i 
k — a x+h — a x — a x (a h — i ), d ou ^ = a x . ^ 
Donc pour que la Jonction a v ait une dérivée, ii faut et il suffit 
oJ 1 I 
que le rapport —p— tende vers une limite déterminée lorsque la 
valeur de h tend vers zéro (par valeurs positives ou négatives, voir 
n° 407). Appelant ( 2 ) l a cette limite (qui est constante par rapport 
, . oü l —— l r 
à x, puisque —^— ne dépend pas de x), nous aurons pour expres 
sion dé la dérivée de a r : 
У — L - a x . 
Nous admettrons ici sans démonstration Y existence de la limite 
l a (ce qui revient si l’on veut, à admettre a priori ( 3 ) que la fonc 
tion a x a une dérivée). La valeur de l a , d’ailleurs, est nécessaire 
ment positive. En effet, supposons, par exemple, que h tende 
vers о en restant positif ; pour h > o, on a a h — i О о ; donc 
a h — i 
le rapport —д— ne cesse ( 4 ) pas d’être positif. 
f) Jean Bernouilli expose la règle de dérivation des exponentielles a T 
dans le mémoire cité supra, p. З76, note 2. (Acta érudit., 1697, Œuv., I, 
p. 18З sqq.) 
( s ) L’indice a rappelle que nous raisonnons sur une puissance du 
nombre a. 
( 3 ) A priori, l’existence de cette limite n’est nullement évidente : nous 
verrons en effet ultérieurement qu’il existe des fonctions continues qui 
n’ont pas de dérivée. 
( 4 ) On démontre facilement que si h tend vers о en restant négatif, la 
limite de a ~ h 1 est la même (Z.) que pour h positif. Posons, en effet, 
h — —h! (en supposant h > o) ; nous avons 
i 
fl' 1 — 1 1 a 1 ' 1 1 a k ' -— r 
h h a h ' K ’ 
lorsque h (positif) tend vers o, fr, tend vers i et -— r ,—- tend vers L • 
h fl h ’ 
donc —^—- tend aussi vers U,