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CALCUL DES FONCTIONS 
Posant de même x — tg y, nous aurons (n° 437 ) x tJ = i + tg 2 y ; 
la dérivée de la fonction y — arc tg x est donc 
. / 
ou 
.2 
i + tg 2 j 
1 -h x' 
4. _ Fonctions de plusieurs variables. Fonctions implicites 
439. La théorie des fonctions de plusieurs variables ( l ) suit pas 
à pas la théorie des fonctions d’une variable, et nous ne nous y 
arrêterons que brièvement. 
Soit f(x, y, z), par exemplepine expression algébrique dépendant 
de trois variables indépendantes et de nombres connus ou de 
lettres représentant des nombres connus (constantes) : cette expres 
sion définit une jonction algébrique (explicite) des trois variables 
x, y, z. Telles sont les fonctions entières polynomales (voir n° 291) 
elles fonctions rationnelles qui sont, par définition, des quotients 
de deux polynômes en x, y, z. Une expression algébrique telle que 
ou 
( 1 ) « Les quantités variables que nous avons considérées jusqu’ici— dit 
Euler [Introductio in Analysin infinitorum, 1748, chap. v)-—-avaient entre 
elles une telle liaison qu’elles étaient toutes fonctions d’une seule variable, et 
que la détermination d’une seule emportait celle des autres ; mais nous 
allons traiter à présent des quantités variables qui n’ont aucune dépen 
dance réciproque, de manière qu’en substituant à l’une d’elles une valeur 
déterminée, les autres restent encore indéterminées et variables. Ces 
sortes de quantités que je représente par x, y, z, ne changent point de 
nature quant à leur signification, chacune renfermant comme à l’ordi 
naire toutes les valeurs déterminées ; mais en les comparant on remar 
quera que si l’on met pour z, par exemple, une valeur quelconque déter 
minée, les autres x et y auront une signification aussi indéfinie qu’aupa- 
ravant. La différence entre les quantités variables dépendantes ou indé 
pendantes les unes des autres consiste donc en ce que, pour les premières, 
la valeur déterminée d’une seule donne celles des autres, et que pour les 
dernières la détermination de l’une ne limite nullement la signification 
de celles qui restent. — Donc une fonction de deux ou d’un plus grand 
nombre de variables x, y, z est une expression composée de ces quantités 
de quelque manière que ce soit ».