FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES. FONCTIONS IMPLICITES l\2 I
qui ne peut pas être mise sous forme de quotient de deux poly
nômes, définit une Jonction non rationnelle.
Si dans l expression de la fonction entrent des puissances d’ex
posant irrationnel, des logarithmes, ou des lignes trigonométriques
de quantités variables (cf. n° 379), la fonction u = J(x, y, z) est
dite transcendante.
Considérons, d’autre part, une relation ou égalité de la forme
(i) F (x, y, z, 11) = o,
dont le premier membre F (x, y, z, u) est une fonction algébrique
ou transcendante quelconque des quatre quantités x, y, z, u. Cette
relation — qui est (lorsque l’on considère x, y, z comme connus)
une équation en u, — définit implicitement (*) une fonction u (fonc
tion implicite algébrique ou transcendante) des trois variables x, y, z.
Les fonctions explicites ou implicites d’un nombre quelconque
de variables se définiront exactement comme les fonctions de trois
variables.
440. — Une fonction (®) u = f [x, y, z) des trois variables x,
y, z, n’est pas toujours définie pour toutes les valeurs de x, y et z.
Avant donc d’étudier la fonction, nous devrons indiquer les inter
valles dans lesquels nous faisons varier x, y et 2. Si par exemple
la fonction est définie pour x, y ai z tels que
a' <d x a, b' < y b, c 1 < 2 < c,
nous dirons que la fonction existe dans le domaine {a!, a), [b', b)
{c, c), et nous pourrons nous proposer de l’étudier dans ce do
maine.
Si x, y, z sont des fonctions de certaines variables, v, ... w, la
variable dépendante peut être regardée comme une fonction com
posée de ces variables (_fonction de fonction). Supposons, en parti-
(*) Inversement cette relation définit implicitement x comme fonction
de y, z, u, ou y comme fonction de x, z, u, etc. Ces fonctions sont ana
logues aux fonctions inverses que l’on considère dans la théorie des fonc
tions d’une variable.
(*) Je continue à prendre pour exemple une fonction de 3 variables ;
tout ce qui va être dit s’applique aux fonctions de n variables (quel que
soit le nombre ri).
