PROBLEMES DIVERS RELATIFS AUX NOMBRES 
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tique tout entière un rôle prépondérant, et leur importance avait 
déjà été reconnue par les Pythagoriciens. 
23. Décomposition en facteurs premiers. — Tout nombre 
a est divisible par 1 (le quotient est a). — Tout nombre est 
divisible par lui-méme (le quotient est 1). — Un nombre qm 
n admet pas d'autre diviseur que lui-même et l’unité est appelé 
a nombre premier ». Ainsi les nombres 1, 2, 3, 5, 7, 11, i3 sont 
des nombres premiers; les nombres 4, 6, 9 ne sont pas premiers. 
Soit n un nombre quelconque : je dis que ce nombre peut tou 
jours être mis sous la forme d’un produit dont tous les jacteurs 
sont des nombres premiers. 
En effet, si n n’est pas premier, on démontre (*) qu’il admet 
sûrement un diviseur premier, a. Appelant le quotient n, nous 
aurons (8) : 
n — a x Ri, 
iii étant plus petit que n. 
Si 7Zj est premier, le théorème est démontré. Si iu, n est pas 
premier, il admet un diviseur premier, b. Appelant n2 le quotient 
^7, j’aurai l’égalité : 
n = a X b X n-2, 
n> étant plus petit que /0. 
Si /!-> est premier, le théorème est démontré. Si n., n est pas 
premier, on le décomposera comme n, n 1, n>. Et ainsi de suite. 
Les nombres ni, n>, m, ... vont en diminuant ; il est donc 
certain qu’après avoir répété un nombre suffisant de fois la même 
opération, on tombera sur un nombre ( 2 ) n p qui est égal à 1 ; on 
s’arrêtera à ce moment-là. 
Ainsi le nombre n peut être rais sous la forme d’un produit de 
facteurs premiers a, b, ..., I. En réunissant, s’il y en a, (confor 
mément à la définition des exposants), les facteurs premiers égaux 
nous obtiendrons finalement notre nombre n sous la forme ( 3 ) 
« = X &' J X ... X ù. 
(*) Voir les traités d’arithmétique élémentaire. 
( 2 ) L’indice p indique le nombre des divisions effectuées. 
( 3 ) Nous remplaçons par des points les facteurs que nous n écrivons 
point et dont nous ne précisons pas le nombre.