FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES. FONCTIONS IMPLICITES 4s3
Une fonction qui est continue pour tous les systèmes de valeurs
intérieures à un certain domaine (a, a!), (6, 6'), (c, c') [vide n°440]
est dite continue dans le domaine.
Les propriétés générales des fonctions continues se laissent
étendre aux fonctions de plusieurs variables. On établira en par
ticulier que les fonctions polynomales sont continues pour toutes
valeurs (finies) des variables. Les fonctions rationnelles (non poly
nomales) seront, au contraire, discontinues et infiniment grandes
pour certains systèmes de valeurs de variables. Ainsi la fonction
u = x H 1 — est infinie lorsque y et z prennent des valeurs
y Z
égales quelconques. D’une manière générale, on peut démontrer
(cf. 399) que dans tout domaine où elle existe, est univoque, et
conserve une valeur finie, une fonction algébrique est nécessaire
ment continue ( 4 ).
442. Dérivées partielles du premier ordre. — Considérons
une fonction univoque et continue, u — f[x, y, z), au voisinage
d’un système de valeurs de x, y, z. Supposons que, y et 2 ne
changeant pas, x subisse un accroissement (positif ou négatif) Ax.
La variable u subit un accroissement correspondant que je dési
gnerai par (Au)*. Faisons tendre Ax vers o (en ne touchant tou
jours pas à y et 2) et considérons le rapport . Si ce rapport se
rapproche de plus en plus d’une valeur-limite, cette limite est
(•) On démontre, plus particulièremert, le théorème suivant, dont nous
nous contentons de donner l'énoncé (il s’applique aux fonctions trans
cendantes comme aux fonctions algébriques).
Si la fonction u — f [x, y, z) est continue dans un domaine donné (a, a),
(b, b'), (c, c'), et varie, dans ce domaine entre d'et d, les diverses fonctions
implicites [fonction x de y, z, u, fonction y de x, z, u, etc.], définies par la
relation u — f (x, y, z) = o, sont continues pour tous les systèmes de valeurs
correspondant à ce domaine pour lesquels elles sont univoques (nous ne
nous occupons que de ces systèmes de valeurs-là, car nous n’avons défini
la continuité que des seules fonctions univoques).
C’est en partant de là que l'on établit par une démonstration rigou
reuse la continuité d*une fonction implicite définie par une relation
F [x, y) = o dont le premier membre est fonction continue de x et y).
Plus particulièrement encore nous pouvons déduire de la proposi
tion qui précède que la fonction inverse d’une fonction continue est
continue.