fonctions de plusieurs VARIABLES. FONCTIONS IMPLICITES 427 
désignerons respectivement : i° les dérivées partielles de f x par les 
symboles (*) : 
*L t *L. 
bX 2 ÔXÔJ’ dXbZ ’ 
OU 
2° les dérivées partielles de f y par les symboles : 
r ... d-f ô 2 /” a 2 /" 
/»-.*/»«»/»- ou byàx* ty*'-âyL' 
3° les dérivées partielles de f, par les symboles f zx , ou ... 
De la même manière, nous définirons les dérivées partielles 
d’ordre 3, d’ordre 4> de la fonction et nous les représenterons 
parles symboles fft, .../iV. ... ou ~I, ... ... 
dX* 
446. —Je dis que, dans le calcul d’une dérivée partielle d’ordre 
supérieur, on a le droit d’intervertir l’ordre des dérivations, c’est-à- 
dire que l’on a, par exemple : 
- »y T etc. 
bXày i>ydX bXdZdXby dX 2 ôyôZ ’ 
Démontrons tout d’abord ce théorème dans le cas où la fonction 
u — f ne dépend que de deux variables x et y : je dis que l’on a 
en ce cas : f xy = J’ yx . 
En effet, en considérant f{x, y) comme fonction de x, nous 
avons, d’après le théorème des accroissements finis (n° 420) : 
(5) 
Aæ 
= f x '{x H- 6, Ax,y) 
où o < Oi <C 1 (ci., pour les notations, le n° 443). Considérons la 
fraction du premier membre comme une fonction de y et appli- 
quons-lui le théorème des accroissements finis par rapport à cette 
quantité, à laquelle nous donnons un accroissement Ay : nous ob 
tenons : 
f(x + Ax,y H- Ay) —f[x,y -f- Av) — {fx + A,r,j) H- f(x,y) 
{! A,:r.A y 
= f y Jx -+- 0,Aa;,j -h 0Aj) 
f 1 ) La lettre / peut être remplacée partout par la lettre u.