ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES 
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quantités sont des conditions initiales (cf. n° 395) définissant l’in 
tégrale. 
On démontre pareillement qu’une équation du second ordre 
(supposée intégrable) possède en général une intégrale particulière 
et une seule qui prend une valeur donnée et dont la dérivée prend 
une valeur donnée pour une valeur donnée x 0 de la variable. Les 
trois valeurs données, que je désignerai par exemple par x 0 , y 0 , y' 0 , 
constituent les conditions initiales définissant une intégrale particu 
lière de l’équation. 
L elude des équations d ordre quelconque conduira à des con 
clusions semblables. 
478. Le problème de l’intégration. — L’intégration d’une 
équation différentielle 
F (®* J- / .y» -0 = 0. 
où F est une fonction connue de x, y, y', y", ... est-elle une 
opération toujours possible ? Non, évidemment : car la simple 
détermination d’une intégrale indéfinie n’est point, elle-même, 
toujours possible. Ainsi nous sommes avertis à l’avance que nous 
ne réussirons pas à intégrer toutes les équations différentielles que 
nous pourrons imaginer. Il n’en est que plus intéressant de noter 
et de mettre à part les équations que nous pouvons regarder comme 
« intégrables ». 
Mais nous ne voulons pas répéter ici l’étude qui a été faite au 
§ 5. Nous ne nous arrêterons donc point aux calculs d’intégrales 
indéfinies que peut supposer l’intégration des équations, et nous 
nous poserons simplement la question suivante ; Comment peut-on 
ramener le problème de l’intégration d’une équation différentielle 
au calcul d’une ou de plusieurs intégrales indéfinies ? Si, pour un 
tvpe donné d’équation, nous connaissons un moyen d’atteindre ce 
résultat, nous déclarerons que ce type est soluble ou intégrable (*) : 
nous ne pourrons, en effet, être arrêtés dans l’intégration d’une 
équation de ce type que par une difficulté relevant du § 5. 
( 1 ) On dit souvent en précisant « intégrable par des quadratures », le 
mot quadrature signifiant « calcul d’une intégrale indéfinie » (45o).