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CALCUL DES FONCTIONS 
479. Transformation des équations différentielles. — 
Pour intégrer les équations différentielles il faut en général, comme 
il arrive d’ordinaire en algèbre, prendre des détours : il est le plus 
souvent nécessaire de commencer par transformer les équations 
proposées en des équations équivalentes. 
Deux équations différentielles relatives aux mômes variables 
[par exemple x et jJ sont dites équivalentes si elles admettent la 
même intégrale générale (c’est-à-dire si elles sont satisfaites par les 
mêmes fonctions j de x). Envisageons une équation de la forme 
F (x, y, y') = o dont le premier membre soit une fonction algé 
brique (*) de x, y, y’ ; il est clair que, si nous considérons pour un 
instant cette équation comme une équation algébrique contenant 
trois variables x, y, y', et si nous remplaçons cette équation par 
une équation équivalente au sens du n° 326, nous obtenons une 
nouvelle équation différentielle équivalente à la première. Nous 
dirons alors que celle-ci a subi une transformation algébrique. 
Ainsi les équations 
y' = xf- + j 2 , y' — œ/ 2 — J 2 = O, 3 (y' — xy /2 — j 2 ) = o 
sont des équations équivalentes. 
L’une des transformations algébriques les plus usitées, dans le 
cas oui l’équation est du premier ordre, est celle qui consiste à ( 2 ) 
« résoudre l’équation par rapport à y' », c’est-à-dire à former l’ex 
pression dépendant de x et y à laquelle doit être égale la quantité 
y' pour que la relation F {x, y, y') = o ait lieu. 
Ainsi l’équation 
y' 2 -h xy' -+- x 3 y = o 
(*) Nous nous bornons à ce cas pour simplifier notre exposé; on éten 
drait aisément les considérations qui vont suivre au cas où F serait fonc 
tion transcendante; si F était transcendante, il est vrai, on ne saurait 
plus parler, au sens rigoureux des mots d une « transformation algé 
brique » de l’équation; cependant, pour simplifier le langage, nous nous 
permettrons d’appeler en tous cas « algébrique » (par convention spéciale) 
toute « transformation » qui change l’équation en une équation équiva 
lente au sens du n° 826. 
( s ) Ou « tirer » y de l’équation, que l’on résout comme une équation 
algébrique dont y' serait l’inconnue.