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LES 'NOMBRES 
Au lieu de constater que certains nombres sont congrus entre 
eux suivant certains modules, on peut se proposer de déterminer, 
s'ils existent, — les nombres inconnus qui peuvent etre con 
grus, suivant un module donne, a des nombres donnés. 
Considérons, par exemple, la congruence 
a X x —=_c (mod. b) 
où a, b, c, sont trois nombres donnés. Nous ne connaissons pas 
encore la valeur du nombre x, et nous ignorons meme a priori 
s’il existe un nombre entier x tel que le produit a X x soit congru 
à c suivant le module b. Si alors nous trouvons un nombre x ou 
plusieurs) satisfaisant aux conditions requises, nous dirons que 
nous avons « résolu la congruence » et que la valeur trouvée en est 
une a solution » (*). Si, par contre, il n’existe pas de nombre x qui 
en soit solution, nous dirons que la congruence est « impossible ». 
On peut proposer des congruences plus compliquées que la pré 
cédente, par exemple une congruence de la forme 
a X æ 2 -h b X x -f- c ~ o (mod. m) 
ou une congruence de la forme 
x n = a (mod. m), 
où n est un exposant quelconque et x un nombre inconnu. La 
résolution de ces congruences (à supposer qu’elles soient possibles) 
présente souvent de grandes difficultés. 
Les congruences ont été étudiées par les plus grands arithméti 
ciens modernes, Euler, Lejeune Diricblet, Legendre, Gauss. 
26. Résolution des équations arithmétiques. — Reprenons 
la congruence 
a X x = c (mod, b) 
que nous avons écrite plus haut. Supposons la possible, et consi 
dérons la diliérence des deux nombres a X x et c. D’après la 
définition des congruences, cette différence est divisible par b : 
(‘) Appelons d le plus grand commun diviseur de a et b. On démontre 
cjue si c est divisible par d, le congruence proposée a plusieurs solutions 
elle en a d) ; si c n est pas divisible par d, la congruence est impossible.