ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES 
/.53 
se transforme en 
•X' 2 4 x 3 y 
'1 
Les équations différentielles d ordre supérieur au premier se 
prêtent à des transformations semblables. 
Mais les transformations les plus fécondes seront (comparer le 
n° 325), des transformations indirectes, lesquelles font intervenir 
des variables auxiliaires prenant provisoirement la place des va 
riables proposées (variables principales). Ces transformations sont 
généralement dénommées « changements de variables ». 
480. Changement de variables. — Considérons une équation 
différentielle entre as et y, par exemple l’équation du premier ordre 
ordre 
(12) F (x, y, y') = 0. 
Un changement de variables relatif à cette équation peut porter, 
soit sur la variable dépendante y, soit sur la variable indépendante, 
soit sur toutes deux. 
Supposons d’abord que nous conservions la variable x et pre 
nions comme fonction inconnue de x une nouvelle variable v, 
définie en tant que fonction de as et y par une relation connue, 
v = g(x,y). Cette relation définit inversement y comme fonction 
de v et de as. Supposons en particulier (le changement de variable 
ne sera d’ordinaire praticable qu’en ce cas) que nous sachions ex 
primer explicitement y en fonction de as et v : y s’exprimera par 
une égalité de la forme 
y ==: cp(x. v). 
(i3) 
Dérivons cette égalité par rapport à as, en nous rappelant que v 
est une fonction de as dont la dérivée peut être désignée par v : 
nous obtenons 
y' = tpL-f- v' 
(i4) 
Remplaçant alors, dans l’équation (12) yet y' parleurs expressions 
(i3) et (i4) en fonction de as, v et v' nous aurons une équation 
différentielle entre as et v, qui équivaut à l’équation proposée. Si