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CALCUL DES FONCTIONS 
l’on trouve une solution de cette équation, il suffira de remplacer 
v par cette solution dans la relation (i3) pour avoir une fonction 
J de x qui soit solution de l’équation (12). L’opération sera donc 
avantageuse toutes les fois que l’équation en x et v sera plus 
simple que l’équation en x et y. Or la fonction © qui définit le 
changement de variable (i3) est arbitraire. Le tout sera donc de la 
choisir d’une manière convenable. 
481. — Pour passer des variables x et y à deux nouvelles va 
riables u et v, il faut se donner deux relations de la forme 
(15) x=f{u,v), y = 0(11, v) 
définissant x et y comme fonctions de u et v [et inversement u et v 
comme fonctions de x et j]. Considérons, par exemple, la variable 
u comme la variable indépendante ; la dérivation des égalités (i5) 
par rapport à u nous donne 
x'u — J'u 4- v' f ’v, y'u = q'u -h v'o'r. 
Or J* =jU', 
(16) 
Remplaçant, dans l’équation différentielle (12), x, y et y' par 
leurs expressions en fonction de u, v, v' données par les égalités 
(i5) et (16), nous obtenons une équation différentielle entre x, v 
et v 1 qui équivaut à l’équation (12). 
482. Cas d’une équation du second ordre. — On définira 
de la même manière le changement de variable ou de variables 
relatif à une équation du second ordre ou d’ordre supérieur. 
Proposons-nous, par exemple, d’effectuer le changement de 
variable (i3) sur une équation de la forme 
( l l) F {x, y, y', y") = o. 
En dérivant Légalité (i3), nous obtenons Légalité (i4) ; en dé 
rivant celle-ci [d’après les règles du n° 443] nous avons : 
y" = y 2 -f- sa'çp'L, H- v ,2 q" v 2 -+- v"q v . 
Donc : 
y* —