EQUATIONS CLASSIQUES DU PREMIER ORDRE 
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quantitates utcumque datas per x denotant — construere [c’est- 
à-dire : résoudre l’équation ay' = yp + by n q, où a et 6 sont 
deux constantes, y" une puissance de y et p et q deux fonctions 
de x]. Ce problème (‘) fut repris en 1697 P ar Jean Benouilli 
(Acta erudito? uni, Mars 1697) : on en ramène fort aisément la 
solution à l’intégration d’une équation linéaire. En effet, l’équa 
tion de Jacques Benouilli peut s’écrire : 
y' 
(10) «•Uïï=/>0)-J , ~ n + b.q(x). 
Faisons alors un changement de variable en prenant pour nou 
velle fonction inconnue la quantité z = y 1 -' 1 ; nous avons 
z' = (1 — n)y~ n y'; donc l’équation (10) équivaut à 
(n) TZT~n z ' = p ( x ) ■ z ’ + b • ^( æ )’ 
équation linéaire que l’on sait intégrer (n° 488). 
490. Equation de Riccati( 2 ). — On appelle ainsi les équa 
tions de la forme 
(12) y' = ?o(«) + y ■ <Pi(x) + y 3 ■ <p 2 (æ), 
dont le second membre est un polynôme du second degré en y, 
ayant pour coefficients des fonctions quelconques de x. L’équa 
tion (12) n’est intégrable au sens du n° 478 que si l’on en connaît 
déjà une intégrable particulière ; en ce cas elle peut être ramenée à 
une équation de Bernouilli. 
Supposons en effet que nous connaissions une fonction u qui 
(*) Si l’on veut écrire la forme générale de l’équation de Bernouilli, il 
est inutile d'y introduire des coefficients constants a et b ; on écrira : 
y' = p( x ) • y + qi x )-y n . 
p[x) et q[x) désignant deux fonctions quelconques de x. 
( 2 ) Le comte vénitien Jacopo Riccati (1676-1754) n’étudia en réalité 
qu’une équation particulière du type (12), l’équation 
du 
nx =dï+ UX ■ 
où m et n sont des nombres connus (Animadversiones in æquationes diffe- 
rentialts secundi gradus, apud Actorum eruditorum supplémenta, t. VIII, 
1724, p. 73).