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CALCUL DES FONCTIONS 
satisfasse à l’équation (12), et faisons le changement de variable 
y — u -+- z [c’est-à-dire passons de la variable y à la variable 
z = y — u]. L’égalité (12) nous donne 
y’ — U 1 -f- z' = <f 0 (œ) -h (« H- z) <?i(x) + (u -h zy <f 2 (x). 
Développant le dernier membre, et remarquant que 
u' — <p 0 (æ) -+- u . <Pi(ar) + u 2 . cp 2 (æ), 
puisque u est par hypothèse solution de l’équation, j’ai finalement 
z' =z. <p t (cc) -4- 2UZ. cp 2 (ic)-|-z 2 . cp 2 (ic). ou : z/: =(«Pi(îc)4-2« . cp 2 (x)]2--4-z 2 . cp 2 (x), 
ce qui est, par rapport à 2 une équation de Bernouilli. 
491. Equation de Glairaut. — Nous n’avons étudié jusqu’ici 
que des équations rationnelles (*) par rapport à y et résolues par 
rapport à y', — où par conséquent ne figurait que la première 
puissance de la dérivée y 1 . Il en est autrement de l’équation de 
Glairaut, et l’étude de cette équation va nous conduire à certaines 
constatations nouvelles et intéressantes. 
Considérons une équation de la forme ( 2 ) 
(i3) y — X y' —f{y') 
où le second membre est une fonction arbitraire de la dérivée de 
la fonction inconnue. 
Dérivons par rapport à x, les deux membres de l’égalité (13). 
Remarquant que la dérivée de y' est la dérivée seconde y", et que la 
dérivée de /(y') par rapport à x est par suite ( 3 ) (y') . fy", nous 
obtenons : 
y — i x f + y') =f'(j') • y"> donc — xy" = /(/).y", ou 
04) ' /•[*+/(/)] = o. 
f) Je veux dire : des équations dont les deux membres, considérés 
comme jonctions de y seule, étaient fonctions rationnelles. 
( 2 ) Cette équation fut étudiée par Glairaut en 1784 [Solution de plu 
sieurs problèmes où il s’agit de trouver des courbes dont la propriété consiste 
dans une certaine relation entre leurs branches, exprimée par une équation 
donnée, Mém. de l’Ac. Royale des Sciences, i 7 34, p. 196 suiv.f 
( 3 ) En désignant par f [y ) la dérivée de f[y) par rapport à. y', c’est-à-dire 
df(y') 
dy'