PROBLÈMES DIVERS RELATIFS AUX NOMRRES
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appelons y le quotient. Nous aurons, suivant que a X x est plus
grand ou plus petit que c, Tune des égalités
a X x — c — b X y ou c = aXx-{-bXy.
Ainsi, dans le cas où la congruence admet des solutions, il existe
des couples de nombres x et y satisfaisant à l’une des égalités
écrites ci-dessus. Réciproquement, s’il existe un couple de nom
bres x et j satisfaisant à l'une de ces égalités, le nombre x de ce
couple est une solution de la congruence indéterminée.
Une égalité telle que
a X x H- b X y = c
et, d’une manière générale, toute égalité (équation) qui doit être
satisfaite lorsque l’on donne à x et y des valeurs que nous ne con
naissons pas encore, est appelée « équation arithmétique indéter
minée » f 1 ). A priori nous ignorons quelles sont les valeurs de x
et y; nous ne savons même pas s’il est possible de trouver deux
nombres x et y vérifiant l’égalité donnés. Lorsque de tels nombres
existent, ils sont appelés « solutions de l'équation ». « Résoudre
une équation », c’est en trouver les solutions.
Comme le montre l’exemple que nous venons de donner, l’étude
des équations arithmétiques est intimement liée à celle des con
gruences.
27. — Les arithméticiens ont étudié de nombreuses équations
Indéterminées 2 ), et quelques-unes de ces équations sont restées
célèbres.
f) Les mots «équation», «solution», que nous omployon ici sont
empruntés à l’algèbre. Et en effet l’égalité proposée n’est autre qu’une
équation algébrique (voir Deux. Liv.). Mais nous ne rechercherons ici que
celles des solutions de l’équation qui sont des nombres entiers. L’équa
tion algébrique aXx+hxy— c, k deux inconnues, n’aurait pas de
solutions déterminées (elle pourrait être satisfaite quel que soit x pourvu
que y ait une valeur convenable) : c’est pourquoi cette équation est
appelée, en algèbre comme en arithmétique, « équation indéterminée ».
( 2 ) Diophante, le grand arithméticien grec, qui vécut probablement au
IV e siècle ap. J.-C., étudia de nombreuses équations indéterminées. Il
chercha en particulier dans quels cas l’équation Ax x 2 + Bx y 2 + G = y 2 , ou
A, B, C sont trois nombres entiers (ou, plus généralement, rationnels,
vide infra, § 6) admet pour solutions des nombres x et y entiers (ou