32
LES NOMBRES
Telle est l’équation de Pythagore
x 2 -h y- = 2 2 .
Cette équation est vérifiée par les valeurs x = 3, y = 4, z = 5
(puisque q H - iô == 25), et elle admet une infinité d auties solu
tions qui ont une signification géométrique simple. Si 1 on cons
truit, en elïet, un triangle rectangle dont les trois côtés aient
pour longueurs des nombres entiers, il resuite du fameux théo
rème de Pythagore sur le carré de l’hypoténuse (199) que les
trois longueurs satisfont a 1 équation x- -y- y~ z .
Considérons maintenant l’équation
x 3 H- y 3 = 2 3 .
On savait déjà au xvu° siècle qu’elle n’a pas de solution, et ce fait
fut démontré rigoureusement par Euler.
Fermât alla plus loin ( 4 ), et déclara avoir démontré que l’équation
| yTH 2 m
est, pour rn—2, une équation « impossible en nombres différents
de zéro ». Mais Fermât se borna à énoncer ce résultat sans donner
ses preuves ; et, si l’exactitude de la proposition a pu être établie
rigoureusement pour les valeurs de rn moindres que i ooo, la solu
tion générale du « problème de Fermât » continue de se dérober
aux efforts sans cesse réitérés des mathématiciens du monde entier.
Nous voyons, par ces exemples, que les problèmes qui se rat
tachent aux équations arithmétiques n’aboutissent bien souvent
qu’à la constatation d’une impossibilité. Mais, s’ils nous causent
des déceptions, ils nous conduisent aussi parfois à de beaux théo
rèmes auxquels nous ne nous attendions pas. En voici un, entre
bien d autres, que nous n’aurions certes pas pu prévoir a
plus généralement rationnels). Il en est ainsi : i° Si A et C sont nuis;
2 e Si A est le carré d’un nombre entier (ou rationnel); 3 e Si C est le
carré d’un nombre entier (ou rationnel). Cf. Heath, Diophantus of Alexan
drie, 2 e éd. Cambridge, igro, p. 67 et suiv. — Les mathématiciens hindous
[aide supra, n° \ et infra, Deux. Fiv.'j ont résolu également diverses
équations arithmétiques.
(') Observations sur Diophante, Œuv. de Fermât, t. I p. 291.