PROBLÈMES DIVERS RELATIFS AUX NOMBRES 
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1 avance ( J ). « iout nombre peut être considéré comme la somme de 
quatre nombres carrés (o étant compris parmi les nombres) ». Ainsi 
■21 = 4 2 H- 2 2 -4- l 2 + O 2 , 2 2 = 4 2 + a 2 i 2 -i- i 2 , 
23 — 3 2 -+• 3 2 -+- 2 2 -h i 2 , etc. 
28. Problèmes divers. — Parmi les problèmes secondaires, 
auxquels on ne veut plus accorder aujourd’hui qu’un intérêt de 
curiosité, il en est cependant qui ont un brillant passé. 
Nous avons déjà parlé (3) des nombres parfaits et des nombres 
amis. Ces nombres, et d’autres analogues, auxquels conduit la 
considération de la somme des diviseurs d’un même nombre, ont 
provoqué, dès l’antiquité, de nombreuses recherches ( 2 b 
On appelle d’ordinaire « parties aliquotes » d’un nombre l’en 
semble de ses diviseurs (le nombre lui-même excepté, mais l’unité 
comprise). Un nombre non parfait est, d’après la terminologie 
pythagoricienne, abondant ou déficiant suivant que la somme de 
ses parties aliquotes lui est supérieure ou inférieure. Un nombre 
abondant égal à la moitié ou au tiers, ou au quart de la somme de 
ses parties aliquotes, est dit sous-double, ou sous-triple, ou sous- 
quadruple. 
Delà, une foule de questions. En i63i, Mersenne ( 3 ) propose 
de trouver un nombre, autre que 120, qui soit sous-double. En 
iGSy, Fermât ( 4 ) adresse aux mathématiciens de toute l’Europe un 
défi en règle, où il demande de trouver un cube qui augmenté de 
ses parties aliquotes soit un carré, et un carré qui, augmenté de 
ses parties aliquotes, soit un cube. 
Fort anciens également sont les problèmes relatifs aux carrés 
magiques. 
On appelle carré magique de ir cases un carré où sont disposés 
(comme sur un damier) n 2 nombres, appelés éléments du carré, (*) 
(*) Ce théorème énoncé par Bachet dans ses commentaires sur Dio 
phante (Diophanti arithmeticorum, libri, IV, éd. Bachet, Paris 1621. p. 180) 
a été démontré rigoureusement, par Lagrange [Nouv. mém. de l’Ac. de 
Berlin, année 1770, p. 128) et par Euler (1777). 
( 2 ) Cf. dans VEncycl. des Sc. math., I, i5, le n° 28 rédigé par Paul 
Tannery. 
( 3 ) Œuv. de Descartes, éd. Adam-Tannery. I, p. 229. 
( 4 ) Cf, Œuv. de Fermât, t. II, p. 332. 
Boutroux. — Les Principes de l’Analyse mathématique. 
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