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l’algèbre géométrique
je dis que le carré de AB est égal aux carrés [des segments AF,TB,
et à deux fois le rectangle contenu sous AF,I B... [Suit l’apagoge,
etc., voir n° 2251.
517. —L’identité établie par la proposition suivante des Elé
ments (liv. II, 5) n’est pas moins importante :
« Si, — dit Euclide, •— une ligne droite est coupée en parties
« égales et en parties inégales, le rectangle sous les deux segments
a inégaux de la droite entière, avec le carre de la droite placée entre
« les deux sections, est égal au
« carré de la moitié de la droite
« entière.
« Car, qu’une droite AB soit
« coupée en deux parties égales
« au point F, et en deux parties
« inégales au point A, je dis
« que le rectangle compris sous
« AA, AB, avec le carré de FA
En d’autres termes, on a sur la fig. 169 : rectangle AA0K (de
dimensions AA et A0 égale à AB) + carré A0HE (de dimension
A0 = FA) = carré FBZE.
Si donc nous appelons a la mesure de AA, h celle de AB nous
avons (puisque F est le milieu de AB)
A TA
K A
0
E H 1
Fig. 169.
« est égal au carré de FB. :>
ou
a -+- 6\ 2
~) ’
a -h 6\ 2 I a — b\ 2
2 j \ 2 )
518. — En partant de ces constructions fondamentales, les pre
miers géomètres grecs pouvaient « résoudre » — dirions-nous en
langage moderne — divers types d’ « équations du premier et du
second degré ».
Soit par exemple à trouver un carré égal à la différence de deux
carrés donnés [résolution de l’équation x 2 = a 2 — 6 2 ] : on résoudra
le problème en construisant un triangle rectangle ayant Fbypoté-