PROBLÈMES DIVERS RELATIFS AUX NOMBRES 
35 
bles par 2, puis tous ceux qui sont divisibles par 3, et ainsi de 
suite : tout nombre restant, n’étant divisible par aucun nombre 
inférieur, est un nombre premier. On peut, par cette méthode, 
trouver tous les nombres premiers qui sont inférieurs à i ooo, ou à 
ioooo, ou à iooooo; mais jamais on n’épuisera la suite des 
nombres premiers ; car cette suite, — comme Euclide le démon 
trait déjà, — est une suite infinie. 
Pour aborder d’une manière plus rationnelle l’étude de la suite 
des nombres premiers, il convient de rechercher tout d’abord des 
propriétés qui caractérisent ces nombres et permettent de les dis 
tinguer des autres. Telles sont les propriétés formulées par deux 
célèbres théorèmes appelés théorème de Fermât et théorème de 
Wilson. Le théorème de Fermât, énoncé (') sans démonstration 
par le grand arithméticien, prouvé plus tard et généralisé par 
Euler (1736), se formule ainsi : Si p est un nombre premier et a 
un nombre non divisible par p, la différence a v ~ l — 1 est divisible 
par p ; en d’autres termes, on a : 
= 1 (mod, p). 
Le théorème de W ilson, énoncé par Leibniz dans un manuscrit 
inédit ( 2 ),attribuéà J. W ilson par Waring ( 3 ), s’énonce en ces termes : 
Si p est un nombre premier, le nombre 1 x 2 X 3...X (p —1)4- 1 
est divisible par p ; il n’en serait pas ainsi, au contraire si p n était 
pas un nombre premier. 
On est parti de ces théorèmes pour s’attaquer aux pro 
blèmes suivants : Les nombres premiers étant supposés rangés par 
ordre de grandeur croissante, quelle est, en fonction ( 4 ) de n, l’ex 
pression du n ème nombre premier ? Etant donné un nombre N arbi 
trairement grand, quel est, en fonction de N, le nombre des 
nombres premiers inférieurs à N? 
L’élude de ces problèmes a entraîné les arithméticiens modernes 
loin des routes tracées par leurs devanciers. Gauss et Riemann 
en particulier, ont reconnu, au début du xix° siècle, que les 
« fonctions » definies par l’arithmétique sont étroitement apparen- 
p) Lettre à Frenicle, 1640, Œuv. de Fermât, II. p. 209. 
(-) Cf. Encycl. des Sc. math.. I, i5, p. 11. 
p) Meditationes algebraicos, Cambridge. 3 e édit,, 1770; préf. p. XLIII. 
p) Sur le sens des mots « en fonction de » ride infra Deux. Lia. ch. II.