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L ALGEBRE GEOMETRIQUE 
Fig, 
points ». « Prenant — dit Descartes, qui considère dans cet énoncé 
y comme la variable indépendante et x comme la variable dépen 
dante ( 1 ) — successivement infinies diverses grandeurs pour la 
ligne y, on en trouvera aussi infinies pour la ligne x, et ainsi on 
aura une infinité de divers points tels que celui 
\ qui est marqué G, par le moyen desquels on 
\ * \v décrit la ligne courbe demandée ( 2 ). » 
\ \ Que si, au lieu d’être donnée sous forme 
' c . . 
explicite, la fonction y de x est définie par une 
relation implicite F(a?, y) — o, elle est encore 
représentée par une courbe ; cette courbe se trouve caractérisée 
par ce fait que l’abscisse x et l’ordonnée y de l’un quelconque de ses 
points satisfont à l’égalité F(a?, y) — o (cf. 390). 
538. — Ainsi à toute fonction correspond une ligne (que nous 
appellerons ligne ou courbe représentative de la fonction). Voilà, à 
cela près qu’il n’envisageait que des coordonnées positives et se 
bornait par conséquent à l’étude des courbes situées dans l’angle ( 3 ) i 
delafig. 186, ce que montra clairement Descartes. Ce faisant ( 4 ), il 
clarifia définitivement ce concept mystérieux de la fonction qui 
était le support invisible et de toutes les combinaisons algébriques 
(l'exposé de notre chapitre i a mis ce fait en évidence). Grâce à la 
figuration cartésienne, tous les caractères, toutes les propriétés 
des fonctions allaient en quelque sorte sauter aux yeux. On n’avait 
qu’à regarder pour les découvrir. 
( l ) Si l’on retourne ainsi le rôle des variables, la fonction représentée 
se trouve être la fonction x — arg f(y), fonction inverse de f[x) [vide, 
n° З9З]. Il est bien évident qu’une fonction f(x) et la fonction inverse 
sont toujours figurées par la même courbe. 
(-) La Géométrie, Liv. I, Œuv., t. VI, p. 386. 
( 3 ) Descartes retournait d’ailleurs la figure, en sorte que l’angle x 
était l’angle du bas à droite (fig. 187). 
( 4 ) Il s’agit uniquement — ici et au paragraphe suivant — de la figu 
ration des fonctions d’une variable. On aurait une figuration analogue 
des fonctions de deux variables indépendantes, z = f[x, y] en considérant 
z = f[x, y) comme l’équation d’une surface rapportée à trois axes de 
coordonnées [vide infra, chap. xv). Mais cette figuration, qui ne peut 
être réalisée graphiquement sur le papier, ne rendrait guère de services 
à l’algébriste. 
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539. 
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