l’algèbre géométrique 
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Supposons pour fixer les idées que a soit positif et distinguons 
entre les trois cas suivants : 
i° b' 1 — 4ac << o : le trinôme, alors n’a pas de racines, et la 
parabole représentative est toute entière au-dessus de Taxe des x, 
(i re fig. iq3) ; donc le trinôme, égal à l’ordonnée y, est ¡.ositif pour 
toute valeur de x, et Vinégalité (2) est toujours satisfaite ; 
2" h- —- 4ac — o : en ce cas la courbe touche l’axe des x an 
point x — — et est au-dessus partout ailleurs : donc l’inéga- 
lité (2) est vérifiée pour toute valeur de x, exception faite pour la 
valeur x = — —, pour laquelle ax'~ bx -H с = o ; 
3° b 2 —- 4ас g> o ; en ce cas la parabole a la disposition repré 
sentée par la 2 e figure 19З ; l’ordonnée y est négative pour les 
valeurs de x comprises entre les racines x' et x", positive pour 
toute autre valeur de x ; donc [’inégalité (2) est vérifiée pour 
toutes les valeurs de x qui sont extérieures à Г intervalle x', x". 
On discutera de la même manière le cas où le premier coeffi 
cient du trinôme a, est négatif. 
L’inégalité ax~ -t- bx H- с < o se trouve résolue en même temps 
que l’inégalité (3), puisque les valeurs de x qui la vérifient sont 
celles pour lesquelles l’inégalité (2) n’est pas satisfaite. 
545. Comparaison d’un nombre donné aux racines d'une 
équation du second degré. — C’est là une question qui se pose 
à l’occasion de nombreux problèmes. Etant donné un nombre X et 
une équation du second degré ax’ -t- bx -t- c = o, dont les 
racines x' et x" sont supposées exister, mais n’ont pas été cal 
culées, comment reconnaître rapidement si le nombre ). est 
compris entre les deux racines, ou plus petit que la plus petite 
racine (soit x') ou plus grand que la plus grande (soit x") P 
On peut répondre immédiatement à cette question en calculant 
la quantité a/} -+- bl -t- c, valeur du trinôme pour la valeur X deic. 
En effet, supposons d’abord a positif. L’équation étant supposée 
avoir deux racines x',x", nous sommes dans le cas de la 2 e figure 19 4 : 
on voit qu’une valeur de x à laquelle correspond une ordonnée 
négative est nécessairement intérieure à l’intervalle x', x". 
En raisonnant de même sur le cas de la 4° figure ig3 (a négatif) 
on parvient à la conclusion générale suivante :