L ÉTUDE GRAPHIQUE DES FONCTIONS D UNE VARIABLE 5l5 
On démontrera de même que le polynôme/(îc, y) a un signe inva 
riable pour toutes les positions du point M (de coordonnées x, y) 
extérieures à la courbe. 
D’ailleurs, il est facile de démontrer (') que si le polynôme f{x, y) 
est positif à l'intérieur de la coarhe (c’est-à-dire pour les positions 
de M intérieures à la courbe), il est négatif à l'extérieur ; et inver 
sement, s’il est négatif à l'intérieur, il est positif à l’extérieur. 
Ainsi les systèmes de valeurs de x et y pour lesquels on a f{x, y) > o 
sont les coordonnées de tous les points situés, soit à l’intérieur, soit 
à l’extérieur de la courbe. 
L’étude des inégalités correspondant à des courbes de formes 
plus compliquées sera souvent plus délicate, mais pourra être faite 
d’une manière semblable. 
3. — L’étude graphique des fonctions d’une variable. 
549. — Nous avons dit que la méthode cartésienne de figuration 
permettait de trouver et d’interpréter très simplement les princi 
pales propriétés des fonctions d’une variable. Et de fait, au fur et 
à mesure qu’apparaissaient et se précisaient ces propriétés (auxvn 6 , 
au xvur, et pendant la première moitié du xix e siècle), elles s’expri 
maient immédiatement en langage géométrique. Comment et sous 
quelle forme au juste, c’est ce que nous allons voir en suivant pas 
à pas les définitions et les propositions du chapitre n. 
550. Fonction définie dans un intervalle (cf. 391). Branches 
de fonction (cf. 395). — Dire qu’une fonction est définie dans un 
intervalle«, b, c’estdire que la courbe représentative est définie pour 
les abscisses comprises entre deux valeurs a et b, et par conséquent 
entre les parallèles à l’axe des y menées par les points A et B de 
l’axe XOX, extrémités des abscisses a et b (fig. 197). (*) 
(*) S’il n’en était pas ainsi, la fonction f x, y) se trouverait être posi 
tive ou nulle pour toutes les positions du point M dans le plan. Or on 
démontre que cette circonstance ne peut se présenter pour aucun 
polynôme.