L ETUDE GRAPHIQUE DES FONCTIONS d’üNE VARIABLE 5ig
Soit M le point de la courbe représentative qui a pour abscisse
x, et y 1 oidonnée de ce point. |Conformement à la remarque laite
au n 407 je désigné par a?, sans indice, une valeur quelconque
de l’abscisse ; sur la figure je suppose,
pour fixer les idées, o, y >> ol.
A l’abscisse x -+- Acc voisine de l’abs
cisse x (voir pour les notations, le
n H 407) correspond une ordonnée
y -4- Ay et un point M ( de la courbe.
Appelons P le point de coordonnées
x -+■ Ax, y, puis menons la droite
et prolongeons-la jusqu’à l’axe
des x. Dans le triangle rectangle PMM,, nous avons (n° 215)
tang M,MP
PMj
MP
AJ.
Ax ’
donc ii- = tang ' en a PP elant ? l’angle M.MP, égal à MNX,
qui est (voir n° 541 ) le coefficient angulaire de la droite MM,.
Supposons maintenant que nous donnions à l’accroissement Ax
des valeurs de plus en plus petites (cf. n° 407). Que devient
alors le triangle PMMj appelé par Leibniz triangle caractéristique]
et en particulier la droite MM, ? Cette droite coupe la courbe
au point M et en un point M, qui est de plus en plus rapproché
de M ; à la limite, AD vient se confondre avec M et la droite ne
rencontre plus la courbe (au voisinage du point M) qu’au seul
point M : elle la touche sans la traverser ; elle est, dirons-nous
— en reprenant une expression qui a été employée de tous temps
dans la théorie des sections coniques — tangente à la courbé.
D’une manière générale nous appellerons tangente à une courbe
au point M point de contact) la position-limite MT que vient occu
per une sécante MM! (coupant la courbe aux points M et M,)
lorsque le point d’intersection M, se rapproche indéfiniment du
point Al et vient coïncider avec lui.
Supposant prouvée l’existence de la tangente ainsi définie, nous
pouvons dire que, lorsque Ax tend vers zéro, le coefficient angu
laire de la droite MM, admet une limite, qui est le coefficient angu
laire de la tangente en AI à la courbe.
En d’autres termes, la dérivée d’une fonction, pour une valeur
