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l’algèbre géométrique 
quelconque de la variable, est le coefficient angulaire de la tan- 
gente géométrique ( l ) à la courbe représentative, menée au point 
qui correspond à la valeur considérée de l’abscisse. 
555. — Dire qu’une fonction admet une dérivée pour une va 
leur x de la variable, ou dire que la courbe représentative admet 
une tangente au point M (correspondant 
à l’abscisse x), sont deux propositions- 
équivalentes. [Par la seconde proposition 
il faut entendre expressément que la sé 
cante MM, (supposée prolongée) prend 
la même position-limite TMT' lorsque M, 
se rapproche indéfiniment du point M 
sur l'an ou L’autre des arcs de la courbe 
nui aboutissent au point M (à droite ou à 
Cette condition se trouve satisfaite, pour toutes les fonctions 
— ou courbes — continues qu’étudie l’algèbre classique, et il est 
clair, d’ailleurs, que, si nous cherchons à nous représenter une 
courbe, nous ne pouvons guère l’imaginer que comme une ligne 
ayant tout de son long des tangentes (sauf peut-être en certains 
points exceptionnels). 
Et, pourtant, nous verrons plus loin que le fait d’admettre une 
dérivée n’est point, malgré tout, un attribut nécessaire de la 
notion de fonction : on peut par certains procédés algébriques 
définir des classes de fonctions continues qui ne possèdent point 
de dérivées. Mais ce sont là des cas exceptionnels qui n’amoin 
drissent nullement l’importance considérable de la proposition 
du n° 554. En rattachant la définition de la dérivée à une notion 
géométrique aussi simple et claire que celle de tangente en un 
point d’une courbe, nous donnons à la théorie de la dérivation la 
base solide dont elle avait besoin pour se constituer définitivement 
et jouer en algèbre le rôle de premier plan que le Chap. n a mis 
en évidence. 
L’étude arlthmético-algébrique des accroissements \x, Aj et de 
(') Nous disons « géométrique » pour distinguer la tangente ci-dessus 
définie, qui est une droite, de la tangente trigonométrique qui est un 
nombre. 
gauche, figure 202)].