520
l’algèbre géométrique
Considérons alors un point M de la courbe que nous rapproche
rons de plus en plus du point M 0 correspondant à l’abscisse x 0 .
Lorsque la valeur absolue de y' est arbitrairement grande, la
direction de la tangente définie au n° 554, ayant un coefficient
angulaire arbitrairement grand — se rapproche arbitrairement de
la direction parallèle à Taxe des y. Nous en concluons qu’aux
points de la courbe représentative où la dérivée a une valeur infinie,
la tangente à la courbe est parallèle à l’axe des y.
4. — Les équations différentielles du premier ordre
561. — Considérons une équations différentielle du premier
ordre (vide 472) :
(i) V{x, y, y') —o
ou, en résolvant (*) par rapport à y' :
(ibis) y' =f{x,y).
Nous avons vu que, lorsqu’elle est intégrable (voir 478) celte
équation a une infinité de solutions (ou intégrales particulières)
qui sont des fonctions de x : en particulier, si l’on se donne un
système de valeurs (arbitraires) x 0 et y 0 des variables x et y, il
existe en général une et une seule fonction j = /(x) solution de
l’équation (i), prenant pour x = x 0 la valeur y = j 0 [intégrale
déterminée par les conditions initiales x 0 , y 0 (voir 477)].
Pour interpréter géométriquement ces laits, envisageons la
courbe représentative d’une quelconque des fonctions y = /(x)
qui sont solutions de l’équation (i) : on voit que celte courbe peut
être caractérisée par la propriété suivante : le coefficient angulaire
de la tangente en un point quelconque de la courbe est déterminé
par les valeurs des coordonnées du point, conformément à la rela
tion (i). Ainsi la courbe — que l’on appelle souvent, pour
abréger, courbe intégrale de l’équation différentielle — se trouve
(') Cf. p. 446, note i.