LE§ ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES DU PREMIER ORDRE 627 
définie comme lieu géométrique de points jouissant dune meme 
propriété. 
562. La détermination géométrique de la courbe intégrale 
comme lieu est le problème que l’on appelait au xvn e siècle pro 
blème inverse des tangentes. Il s’agit, non plus comme au n° 555 
de déterminer la tangente en un point quelconque d’un point 
d’une courbe, donnée, mais, inversement de déterminer la courbe, 
étant connue la tangente en un point quelconque. Ce problème fut 
posé par Florimond de Beaune en l’année 1607 et chaque inven 
teur de « règles pour les tangentes » (‘) d’en chercher aussitôt les 
« converses » ( 2 ). Malheureusement l’équation particulière dont 
Beaune proposait spécialement l’étude présentait une difficulté 
assez déconcertante. 
C’était l’équation que nous écririons aujourd’hui 11' = X -- " (en 
appelant nia fonction inconnue). Opérant le changement de variable 
y = u H- a — x, (vide n° 480 Descartes ( 3 ) la transforma en l’équa- 
tion 
dy _ _ y 
dx a ’ 
que nous pouvons écrire : 
/ _ __ 1 
J «’ 
En intégrant, nous avons : log y = — X H- c, d’où l’intégrale 
générale ( 4 ) y — c v e " (c t constante arbitraire). 
Les fonctions j ainsi définies sont, on le voit des Jonctions 
transcendantes, et les courbes représentatives sont du type de la 
courbe exponentielle. 
Or ces courbes ne sont pas de celles que Descartes étudiait 
(') Voir p. 52i, note 1. 
(2j Voir en particulier la lettre de Descartes a Beaune du 20 février 
i63 9 [Œuv. de Descartes, t. II, p. 5io) et la note de Paul Tannery, ibid., 
p. 520 sqq. 
Descartes remplace en outre la variable x par da variable x { , 
égale à p2®; nous pouvons nous dispenser défaire ce second changement 
de variable. . 
( 4 ) Vide, n° 558 ; en particulier si a — — 1, l’intégrale particulière pour 
laquelle = i est représentée par la courbe même que nous avons- 
figurée (üg. 206).