LES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES DU PREMIER ORDRE 529 
soit rectiligne, ce qui revient à assimiler un petit arc de courbe 
MoM à un segment de la tangente M 0 M! (assimilation d’autant 
moins éloignée de la vérité que l’arc est plus petit). En d’autres termes 
prenons sur la tangente M 0 T 0 un point M, (de coordonnées X\, y y) 
très rapproché de M 0 (fig. 208) et admettons que notre courbe inté 
grale passe par ce point. S’il en est ainsi, elle devra avoir, en ce 
point, une tangente dont le coefficient angulaire estj/ —_ f{x u j 4 ) ; 
soit MiT t celte tangente; prenons sur elle un point M-, (de coor 
données £c 2 . y.,), très «approché de M t et admettons que notre 
courbe intégrale passe par ce point ; la courbe devra avoir, en M 2 , 
une tangente dont Je coefficient angulaire est j 2 ' = J [x 2 , j 2 ) ; et 
ainsi de suite. 
Nous obtenons ainsi une ligne brisée M () M,M 2 M 3 , ... dont la 
figure se rapproche d’autant plus d’une ligne courbe que les seg 
ments M 0 Mi, M X M 2 , ... sont plus petits. D’ailleurs si nous regar 
dons cette ligne comme une courbe ayant pour tangentes aux 
points successifs M 0 , Mi, les droites M 0 T 0 , M t Ti, ..., cette courbe 
satisfera bien en tous les points M 0 , Mi, ... à la condition posée 
par l’équation différentielle (1). Nous pouvons donc la considérer 
comme représentant approximativement (avec une approximation 
arbitrairement grande) une courbe intégrale de notre équation ('). 
Observons d’ailleurs que le choix du point M 0 d’où nous sommes 
partis est absolument arbitraire. Nous pourrons donc construire 
f) Ce mode de construction qui consiste à remplacer la courbe par un 
contour formé de petites lignes (lineolæ) fut indiqué par Jean Bernouilci 
en 169/1 (Modus generalis construendi omnes æquationes differentiales primi 
gradus, ap. Acta eruditorum, novembre 16g4 ; Œur., t. I, p. 12‘i et suiv.). 
Déjà Leibnig en avait eu l’idée dès i6y5. 
BouTRous. — Les Principes de l’Analyse mathématique. àly