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l’algèbre géométrique
qui tend vers y — a pour limite y ou f(x) : nous avons donc,
comme nous l’avions annoncé : F'(as) — f{x).
Ainsi l’aire A.MNB limitée au-dessus de l’axe des x par la courbe
représentative d’une fonction continue f(x) entre les abscisses
OA = a et OB = x figure géométriquement une fonction primitive
de f{x). Cette fonction primitive n’est déterminée, comme il doit
être, qu’à urne constante arbitraire près, puisque l’abscisse a des
points A et M est arbitraire. Ainsi, en déplaçant la droite AM sur
la ligure 2ii, on forme une aire AiM,NB qui est, tout comme
AMNB, une fonction primitive de f{x) : les deux fonctions primi
tives différent entre elles de la valeur du morceau AjMjMA, va
leur qui est absolument indépendante de la position du point B
et qui est, par conséquent, une constante par rapport à x [ voir,
pour plus de détails, le Trois. Livr., chap. n, § JJ.
569. — Si la courbe était située au-dessous de l’axe des x, la
dimension BN du petit rectangle BB'KN (fig. 212 où sont conser
vées les notations du n° 568) ne serait pas égale à l’ordonnée y du
point N, mais bien à —y, puisque y serait négatif. Donc le rapport
de l’accroissement de Faire AMNB à l’accroissement Asc de la variable
aurait pour limite — y, pour Ax tendant vers o. Mais nous pou
vons faire en sorte que ce rapport ait toujours pour limite y = f(x)
en adoptant la convention suivante ; les aires des segments plans
situés au-dessous de l’axe des x seront regardées comme ayant
des valeurs négatives ; si alors l’arc de courbe MN coupe une ou
plusieurs fois l’axe des x, ce que nous appellerons « aire AMNB »
sera la différence entre les aires des surfaces déterminées par l’arc
MN au-dessus et au-dessous de l’axe des x [sur la figure 2i3
la différence : (aire AMG -f- aire DNB) — aire GPD] ; Faire AMNB
sera positive ou négative suivant que les portions situées au-dessus-
des x l’emporteront ou non sur les portions situées au-dessous.