ETUDE GRAPHIQUE DES ÉQUATIONS. MÉTHODE DAPPROXIM ATIOX 531)
Moyennant cette convention, l’aire AMNB fonction de l’abscisse
variable x du point B, aura toujours (lorsque x croîtra de Asc) un
accroissement de même signe que y — f (x), et sera par conséquent
toujours une fonction primitive de j{x).
570. Fonctions dont l’intégrale n’est pas calculable. —La
construction géométrique que nous venons d’étudier soulève une
question extrêmement importante et délicate (comparer n° 565).
L aire que nous avons appelée AMNB [ je me place, pour simplifier,
dans le cas de la fig. 211 où l’arc MN est tout entier au-dessus de
l’axe des x] est, nous l’avons vu, une fonction primitive de /(ce).
Or cette aire existe, évidemment, et se comporte de la même ma
nière aux yeux du géomètre, quelle que soit la fonction J{x) (sup
posée continue).
Cependant nous savons (n° 453) qu’il existe des fonctions con
tinues qui n’ont pas de fonction primitive, du moins tant que nous
nous enfermons dans le domaine des fonctions algébriques et
transcendantes classiques.
N’y a-t -il point là une dissymétrie choquante ? Et, plutôt que
de nous en déclarer satisfaits, ne vaut-il pas mieux élargir notre
notion de fonction en considérant la mesure de l’aire AMNB (qui
varie d’une manière continue lorsque le point B se déplace avec
continuité] comme définissant en tous cas une fonction F (x) de la
variable a?? Nous nous bornons pour l’instant à poser la question,
car ce sont les fondements mêmes de l’algèbre des fonctions qui se
trouvent ici mis en cause. Nous ne devrons toucher à ces fonde
ments qu’à bon escient et lorsque nous serons sûrs de pouvoir les
remplacer par d’autres qui soient également solides (voir chap. v
et Trois. Lin. chap. 1, § 3).
6. Etude graphique des équations. Méthodes d’approximation
571. — Considérons la courbe représentative d’une fonction
y — f{x). Aux valeurs de x pour lesquelles f{x) est nulle corres
pondent des points de la courbe d’ordonnee nulle, donc des points
situés sur l’axe des x. Par conséquent la recherche des racines de
