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l’algèbre géométrique 
l'équation f{x) = o revient à la détermination des points de ren 
contré de l'axe des x avec la courbe représentative de f{x). 
Partant de cette remarque, nous allons nous servir de la figura 
tion de f{x) pour compléter les résultats auxquels nous a conduits 
l’étude algébrique des équations. 
572. Théorème de Rolle. •— Lorsqu’on ne peut pas calculer 
la valeur exacte d’une racine inconnue d’une équation, il convient 
d’en chercher une valeur approchée : on s'efforcera donc de déter 
miner un intervalle a, f qui comprenne sûrement la valeur £ de la 
racine cherchée (c’est-à-dire soit tel que a < | < fj), et ne con 
tienne d’ailleurs aucune autre racine de l’équation. 
Les valeurs a et |3 (extrémités de l’intervalle) sont deux valeurs 
approchées (‘) de £, l’une par défaut, l’autre par excès : nous 
dirons que a est une limite inférieure, et f une limite supérieure 
de la valeur ç. Plus l’intervalle a, fi sera petit, plus grande sera 
l’approximation avec laquelle il déterminera l’inconnue ç. 
La recherche d’intervalles a, |S aussi petits que possible com 
prenant chacun une racine et une seule d’une équation donnée 
quelconque, algébrique ou transcendante, se trouve être ainsi le 
problème fondamental d’où dépend la résolution approximative des 
équations. Ce problème fut approfondi par les algébristes de la 
fin du xvn e siècle. 
Dans le traité ( 2 ) qu’il publie en 1690, Michel Rolle insiste, 
le premier, sur la relation qu’il y a entre les racines d’une équation 
f{x) = o et les racines de l’équation f {x) — o (équation dérivée 
dirons-nous, cf., 421). Si f {x) est un polynôme, f {x) est un 
polynôme de degré moindre ; il y a donc avantage à ramener, 
comme le fait Rolle, l’étude de l’équation proposée à celle de 
1 équation dérivée. D’ailleurs les remarques de Rolle permettent 
de ramener à son tour l’étude de l’équation f (a;) — o à celle de 
1 équation de degré moindre f"{x) = o ; et ainsi de suite. D’où le 
nom de cascades ( 3 ) donné par Rolle à la suite des équations 
( £ ) C est pourquoi Rolle les appelle des hypothèses (ouv. cité à la note 
suivante : liv. second, chap. ni, p. io3). 
( 2 ) Traité d’algèbre ou Principes généraux pour résoudre les questions de 
mathématique, par M. Rolle, Paris, 1690. 
( 3 ) Loc. cit., liv. second, chap. vi, p. 120.