ÉTUDE GRAPHIQUE DES ÉQUATIONS. MÉTHODES d’apPROXIM ATIOX 537 
f (x) = o, f {x) = o,que l’on est amené à considérer pour étudier 
l’équation f[x) = o. 
Le théorème fondamental énoncé par Rolle peut être formulé en 
ces termes : 
Soit f(x) une fonction que Гоп considère à l'intérieur d’un in 
tervalle a, b, où elle est continue ainsi que sa dérivée J’ {x). Entre 
deux racines consécutives ( l ) y. et fi de la dérivée, appartenant à 
Г intervalle à, h, il existe au plus une racine de la fonction. — Entre 
deux racines consécutives de f{x) \dans Г intervalle a, 6] il y a au 
moins une racine de f (x). 
En effet, par hypothèse, lorsque x croît entre a à S, la dérivée 
f (æ) ne s’annule pas, et conserve donc le même signe ; la fonc 
tion ne cesse pas de croître ou de décroître : donc la courbe repré- 
sentative ne peut franchir qu’une fois l’axe des x ; pour savoir si 
elle le franchit ou non, il suffira de voir si ses extrémités sont de 
part et d’autre ou du même côté de Eaxe des x, — c’est-à-dire si 
f y.) et |S) ont des signes contraires (comme sur la fig. 214) ou le 
même signe (comme sur la fig. 216). Si /(a) ou f (fl) était nul, 
— c’est-à-dire si le nombre a ou f était racine de f(x) — la 
courbe ne pourrait en tout cas pas rencontrer l’axe en un second 
point d’abscisse comprise entre a et fl ( 2 ). 
Considérons, d’autre part, deux racines consécutives de f(x) : 
il y a sûrement entre elles un maximum ou un minimum [donc 
une racine de f (x) , puisque la courbe, suivie avec continuité d’une 
racine à l’autre, part de l’axe des x pour y revenir. 
573. Remarque. — II résulte du théorème de Rolle que si une 
équation de degré nan racines réelles, x lt x n , l’équation déri 
I 1 ) Par «racine de f[x) »nous entendons « racine de l’équation f[x) = 0» 
icf. 35q). — Deux racines consécutives sont deux racines entre lesquelles 
ne s’en trouve située aucune autre. 
( 2 ) Le nombre a ou ¡3, est d’ailleurs, en ce cas, racine multiple de f{x). 
{Voir n° 421].