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l/ALGÈBRE GÉOMÉTRIQUE 
vée a aussi toutes ses racines réelles, celles-ci étant respectivement 
situées entre les racines de l’équation primitive. En effet, dans 
chacun des intervalles (x t , xf), (x 2 , x 3 ), ..., (æ^,, x n ), qui sont 
au nombre de n — i, il y a une racine de l’équation dérivée : ce 
qui donne n — i racines réelles de cette équation ; elle n’a pas 
d’autres racines puisqu’elle est de degré (') n — i. 
574. Séparation des racines d’une équation. — Supposons 
que nous sachions calculer toutes les racines réelles de f{x) si 
tuées dans un intervalle a, b où f{x) et f\x) sont continues. 
Appelons-les a, fi, y, ... X, et calculons les valeursf(a),J{y), ..., 
J (b) -— valeurs de la fonction pour x — a, x ~ a, etc. — de ma 
nière à connaître leurs signes. Chacun des nombres a, a, ... X 
« fournira » ainsi, — à moins qu’il ne soit racine de f(x) — l’un 
des signes H- ou —. Cela fait, il résulte du théorème de Rolle ( 2 ) 
que chacun des intervalles (a, a), (a, fi), ... (X, h) contiendra i ou 
o racine de f{x) suivant que ses extrémités fournissent ou non ( :i ) 
des signes contraires. 
Sur la figure 216, par exemple, les signes correspondant aux 
nombres de la suite de Rolle sont : 
a a ¡3 y 3 b 
L’équation présente 1 racine dans chacun des intervalles {a. a), 
a, fi), (d, b) et o racine dans les intervalles (fi, y), (y, â) ( 4 ). 
(*) La dérivée d’un polynôme de degré n, soit a n x n + ... + ax v -)- x 0 est, 
on le sait, un polynôme de degré n— 1, savoir n.a n x n ~ i -f- ... + «1. 
( 2 ) La déduction est immédiate pour les intervalles (a, ¡3), (¡3, y), etc. 
Pour ce qui est de l’intervalle (a, a) [ou (X, 6)] observons d’abord qu’il 
contient au plus une racine (car s’il en contenait deux, il y aurait entre 
elles une racine de la dérivée d’après la seconde partie du théorème de 
Rolle) : donc il en contient une ou zéro suivant qu’entre a et a la courbe 
coupe ou non l’axe des x. 
( ;i j Dans le cas particulier où l’une des extrémités d’un intervalle (a, ¡3) 
est racine de f{x), il n’y a, nous l’avons dit, aucune autre racine dans oet 
intervalle. 
( 4 ) Considérons encore, pour prendre un exemple numérique, l’équa 
tion du troisième degré 
f(x) — x* — 3a; + l = o; 
nous avons 
f[x] = 3a: 2 — 3 = 3(a; 2 — 1}. 
Les racines de la dérivée sont — 1 et + 1. Envisageons alors l’inter-