ÉTUDE GRAPHIQUE DES ÉQUATIONS. MÉTHODES D’APPROXIMATION 53g, 
La suite des nombres a, a, fi, X, b est souvent appelée suite 
Je Rolle relative a 1 équation f{x) = o. Les nombres de cette suite 
« séparent » les racines simples ( l ) de/(a;). 
575. Extrémités de la suite de Rolle. — Les intervalles 
(a, a), (a, fi), ... que nous avons considérés ci-dessus ont tous 
été supposés compris dans un intervalle (a, b) où f{x) et f'{x} 
sont continues. Dans le cas où fix) est un polynôme, cette fonction 
et sa dérivée sont continues pour toute valeur finie de la variable ; 
nous pouvons donc prendre comme nombres a et 6 des nombres 
de valeur absolue arbitrairement grande, l’un négatif, l’autre po 
sitif : nous dirons alors — en nous référant aux signes introduits 
au n’ 398 — que la suite de Rolle est composée des nombres 
, 3, p, ... A, —f— GO . 
D’ailleurs, lorsque l’on donne à x une valeur positive ou néga 
tive très grande, le polynôme f{x) a nécessairement le même 
signe ( 2 ) que son terme de plus haut degré, soit a n x n . Si n est un 
valle — 2 + 2, qui comprend —■ i et + i et écrivons sous chacun des 
nombres — 2. — i, i, 2, les signes qu’ils fournissent [c’est-à-dire les 
signes de /(— 2), /( — i), /(i), /(2;], nous obtenons : 
— 2 — J I 2 
— + — +, 
d’où résulte que l’équation proposée a une racine dans chacun des inter 
valles (2, — 2), (— t, + 1), (t, 2); elle a ses trois racines réelles. 
(*) Si f x) a des racines multiples, ces racines font partie des nombres 
1, ¡3, ..., X. Nous pourrions d’ailleurs nous dispenser de considérer le cas 
où f x, a des racines multiples, étant donné que la résolution d’une équa 
tion polynomale quelconque peut toujours être ramenée à la résolution 
d’équations dont toutes les racines sont simples (voir 423). 
( 4 ) Soit f X; polynôme de degré n et ordonné sous la forme 
a n x n + a )Z _ iX n ~' + ... + a.x + a r 
Nous pouvons écrire 
/(*) 
x n 
<hi + 
U-n—i 
X 
+ ... + 
a i 1 M. 
a;’ 1 - 1 /' 
Lorsque x devient arbitrairement grand en valeur absolue, tous les termes