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l’algèbre géométrique 
nombre pair, x 11 est un nombre positif, quel que soit le signe de x ; 
nous exprimerons ce fait en disant que f{— oc ) et /(~h oo ) ont 
tous deux le signe de a n [ les extrémités — oo et + oo de la suite 
de Rolle fournissent le même signe j. Si n est un nombre impair, 
x n a le même signe que x : donc /(+ oo ) a le signe de a n et 
J{— oo ) a le signe contraire ('). 
Ainsi, lorsque l’on aura affaire à un polynôme, il sera commode 
de prendre comme extrémités de la suite de Rolle, les nombres 
— co et +oo . On devra cependant déterminer autrement ces 
extrémités si l’on veut avoir des valeurs approchées des racines, 
et non point seulement les séparer. On prendra alors comme va 
leur de a un nombre inférieur à a, aussi rapproché que possible 
de a, et tel (que f{a) etf{— oo ) aient même signe, et comme valeur 
de h un nombre supérieur à X, ausssi rapproché que possible de X, 
tel que f(b) et/(+ oo ) aient même signe ( 2 ). 
576. — Lorsque l’on a « séparé )) les racines d’une équation 
j (x) = o, la question qui se pose est la suivante : 
Etant donné un intervalle c, d qui contient une racine incon 
nue simple ( 3 )£, et une seule, d'une équation algébrique ou transcen 
dante, et dont les extrémités sont, par conséquent, des valeurs 
approchées de £ (n° 572), comment obtenir des valeurs de | plus 
approchées que c et d? Comment déterminer, en d'autres termes, 
un intervalle d, d' intérieur à l’intervalle (c, d) [plus petit qui 
comprenne, lui aussi la valeur £ ? 
La question ainsi posée peut être traitée indépendamment du 
de la parenthèse, sauf le premier, tendent vers o : donc la quantité entre 
parenthèses a pour signe le signe de a n , et f[x) a le signe de x n .a n . 
(*) De là résulte qu’une équation de degré impair a toujours au moins 
une racine réelle (cf. n° 358). 
( 2 ) Le théorème suivant, par exemple, fournit une limite supérieure des 
racines positives : supposons pour fixer les idées le dernier coefficient a„ 
positif, et désignons par s la somme des valeurs absolues des coefficients né 
gatifs de l’équation, par p la différence entre le degré de l’équation et l’ex 
posant du premier terme à coefficient négatif (j’entends par « premier » celui 
• P /~s 
qui a le plus haut degré) : le plus grand des deux nombres i et y/ — est 
limite supérieure des racines de l’équation. — On détermine semblable 
ment une limite inférieure des racines négatives. 
( 3 ) Voir p. 53g note i.