ÉTUDE GRAPHIQUE DES EQUATIONS. METHODES d’APPROXIMATION 541 
theorcme de Ivoile ( ; et ne suppose point, par conséquent, que l’on 
ait déterminé les valeurs exactes des nombres de la suite de 
Holle, c est-à-dire des racines de f'{x). Nous, nous nous placerons 
toutefois d emblee dans 1 liypotbese ou l’on est sûr ( 1 2 ) <jue l'inter 
valle c, d est compris à l'intérieur de l'un des intervalles de Rolle 
— tels (¡ue {a, fi) — définis au n" 574. 
Lu ce cas la dérivée f (x) conserve un signe constant dans l’in 
tervalle c, d [puisqu elle ne s annule pas] ; l’arc de courbe CD qui 
représente f(x) dans cet intervalle ne cesse donc de monter ou de 
descendre, en traversant d ailleurs 1 axe des x, puisque, par hypo 
thèse, f{x) a une racine dans l’intervalle. — Nous ferons en 
outre cette hypothèse que f"{x) ne change pas de signe dans l’inter 
valle c, d. Delà résulte que f (x) est toujours croissant ou tou 
jours décroissant. Or f {x) est (554) le coefficient angulaire de la 
tangente a la courbe au point d’abscisse x et d’ordonnée f{x) ; 
dire, des lors,que ce coefficient varie sans cesse dans le même sens 
pour x croissant de c à d, c’est dire que la direction de la tangente 
(en un point qui parcourt l’arc de courbe de G à D) ne cesse de 
se rapprocher, soit de la direction parallèle à l’axe Oj, soit de la 
direction parallèle à Ox. 
577. — Dans ces conditions, quatre cas de figure peuvent se 
présenter (f) : 
i° Si /(c) > o et J(d) < o, la courbe est descendante. Si le 
signe de /"(x est —, /'(x) va en décroissant ; la direction de la 
(1) Les extrémités c, d de l’intervalle considéré peuvent être des 
nombres de la suite de Rolle ou peuvent être d’autres nombres [l’inter 
valle c, d étant par exemple, un intervalle compris dans l’un des inter 
valles (a, a), (a, ¡3), ... considérés au n° 674]- 
( 2 ) On pourra toujours obtenir un intervalle c, d satisfaisant aux 
conditions que nous allons énoncer en appliquant le théorème de Rolle 
aux fonctions f.x), f(x), f"(x). ... [méthode des cascades, voir n° 672] et 
en essayant diverses valeurs particulières de x, [c’est-à-dire calculant les 
valeurs de f x , ou f x , ou f(x), pour diverses valeurs de x voisines de la 
racine inconnue, et comparant les signes des nombres obtenus]. Nous 
n’entrerons point ici dans le détail de cette opération dont 1 intérêt est 
purement technique. 
( 3 ) Dans le i er et 4 e cas on dit que la courbe tourne sa concavité vers 
les y positifs (cf. p. 5io, note 1).