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l’algèbre géométrique
Telles sont les expressions des valeurs approchées ( J ) de \ que
nous substituerons aux valeurs approchées primitives c et d. Les
méthodes qui fournissent les nouvelles valeurs consistent, on le voit,
à remplacer la courbe CD (dont il s’agit de trouver le point de
rencontre avec Oj), soit par la corde CD, soit par la tangente en G
à la courbe. La première méthode est ( 2 ) souvent appelée méthode
des parties proportionnelles ; la seconde a reçu le nom de « mé
thode de Newton n ( 3 ).
En appliquant à nouveau ces méthodes à l'intervalle /, n, on
déterminera un troisième intervalle, plus petit, qui contient la racine
inconnue z ; et ainsi de suite, chaque nouvel intervalle étant plus
resserré que le précédent et faisant, par suite, connaître la valeur
de £ avec une approximation plus grande.
(') On peut facilement calculer une limite supérieure de l’erreur que
l’on commet lorsqu’on prend l’un des nombres Z ou n comme valeur de
la racine £ (entendons : on peut calculer up nombre a tel que l’on ait sûre
ment \ — Z < a et n — \ < a). On trouvera l’expression de cette limite
dans les traités d’algèbre.
( 8 ) Cette méthode est ainsi nommée parce que la ligne droite (ici ; la
corde CD) est une ligne telle que l’accroissement de l’ordonnée, lorsque
l’on passe de l’un à l’autre de ses points, est proportionnel à l’accroisse
ment de l’abscisse [la relation qui définit les points de la droite CD peut
s’écrire ^ — m, les valeurs x 0 et y 0 étant les coordonnées d’unpoint
fixe, x et y les coordonnées d’un point variable sur la droite, m un
nombre constant |.
( 3 ) Newton applique en particulier cette méthode à l’équation y 3 —ay— 5
• . . 2
— ° qui a une racine comprise entre 2 et 2 + — (Numeralis æquationum affec
tarum resolutio, apud Analysis per æquationes numero terminorum infinitas,
Londres, 1711 ; cf. Newtoni Opuscula mathem., t. I, 1744, P- 10-12).
ERRATA
Page n3, ligne 5. Au lieu de « nombres algébriques », lire « nombres
absolus ».
Page 2o5, note 3, ajouter ; D’une manière générale, si l’on joint un
centre O aux divers points A, B, C,. . d’une figure quelconque de l’es
pace, les points de rencontre des droites OA, OB, OC,,., avec un plan P
forment une figure qui est dite projection conique ou centrale (sur le
plan P) delà figure de l’espace.
