FRACTIONS 
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D’où la règle : La racine p ième ou racine d'ordre p de la fraction - 
ef 
esi la fraction yr= ; on peut donc écrire 
V m 
M 
L’extraction (exacte) de la racine p lèrae d’une traction — est-elle 
une opération toujours possible? Pour qu’il en fût ainsi il faudrait 
qu’il existât toujours une fraction dont la puissance p ieme fût 
égale à ~ . Or un exemple très simple va montrer que cela n’est 
pas. 
. Or un exemple très simple va montrer que cela n’est 
Je dis qu’il n’existe pas de fraction dont le carré soit égal 
à 2 (d'où il résulte que l’extraction exacte de la racine carrée 
de 2 est une opération impossible). Supposons en effet qu’il 
existe une fraction ^ telle que p = 2. J’ai le droit de supposer 
(n° 32) que l’on a réduit la fraction à une fraction irréductible, 
en sorte que a et b sont premiers entre eux (n° 24). J’ai, par 
hypothèse, a 2 = 2b 2 ; donc a 2 , et par suite a, est un nombre 
pair (*) ; et, puisque a et h sont premiers entre eux, b doit 
être un nombre impair. Mais appelons a! le nombre — (ce 
nombre est entier puisque a est pair) : j’ai cr = 2 2 X a'- = 4-a' 1 , 
et, par conséquent 2.a' 1 = ù 2 ; donc 6 2 est pair, ce qui exige 
que h soit pair (note 1), Ainsi, en admettant qu’il existe une 
fraction g égale à v/2 nous aboutissons à cette conclusion que le 
nombre b est à la fois impair et pair. Conclusion absurde qui nous 
oblige à rejeter notre hypothèse. 
La démonstration qui précède est donnée par Eaclide au livre X 
de ses Eléments, et s’il faut en croire Aristote ( 2 ), elle aurait déjà 
été connue de Pythagore. Elle nous apprend qu’en général les 
(') Le carré d’un nombre impair est nécessairement un nombre impair ; 
en effet, la décomposition de ce carré en facteurs premiers ne peut (pas 
plus que le nombre lui-même) contenir le fadeur 2. Donc si a- est pair, 
a l’est aussi. 
( 2 ) Cf. Cantoh, Vorlesungen, I, p, 170.