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LES NOMBRES 
racines des fractions les plus simples ne sont pas, elles-mcmes, des 
fractions. 
6. — Nombres rationnels. Inégalités. 
38. Nombres fractionnaires. Nombres rationnels. — Le 
calcul des fractions a été créé, nous l’avons dit, pour répondre aux 
besoins de la vie pratique et de la géométrie. Cependant, le dé 
veloppement même de l’arithmétique théorique devait nous con 
duire à ce calcul et nous inciter à le considérer, non pas simple 
ment comme une annexe, mais comme une partie intégrante de 
de la science des nombres. 
Les problèmes d’arithmétique que nous avons étudiés jusqu ici 
se résolvent tous, remarquons-le, de la même manière : en effec 
tuant sur des nombres proposés certaines opérations donnant 
comme résultats de nouveaux nombres. Ainsi, le monde des 
nombres est essentiellement, pour nous, une classe d’éléments 
abstraits, sur lesquels nous ne supposons rien, sinon qu’ils se 
prêtent à certaines opérations bien définies : nous savons qu’en 
combinant les éléments de cette classe suivant des règles arrêtées 
une fois pour toutes, nous obtiendrons, toujours et exclusivement, 
des éléments appartenant à la même classe. 
Or, cette condition, qui équivaut pour nous à la définition du 
nombre, les fractions y satisfont comme les nombres cardinaux. En 
ctlet, nous savons effectuer sur les fractions les mêmes opérations 
que sur les nombres cardinaux, et, comme résultats des opérations 
efiectuées, nous obtenons toujours des fractions. C’est pourquoi 
nous sommes tout naturellement amenés à assimiler les fractions à 
des nombres ; nous conviendrons de les appeler : nombres fraction 
naires. 
Mais nous savons que la classe des fractions comprend comme 
éléments particuliers l’ensemble des nombres entiers. Nous préci 
serons donc notre langage en convenant de réserver le nom de 
nombre fractionnaire aux fractions qui ne sont pas réductibles à 
des nombres entiers, et appelant, d’une manière générale, « nombre 
rationnel » un nombre entier ou fractionnaire quelconque ; nous