CALCUL APPROCHÉ. PUISSANCES FRACTIONNAIRES 
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illimitée [le mot illimitée signifiant que, si l’on veut pousser de 
plus en plus loin l’approximation, on doit, dans le nombre décimal 
qui représente la fraction, ajouter, Indéfiniment, de nouvelles déci 
males]. 
Les fractions décimales illimitées ont été étudiées par Cavalier! 
(Trigonometria, 1643, chap. xxiv) et, d’une manière plus com 
plète et plus précise, par Wallis [Algebra, 1698, chap. lxxxix). 
48. Valeur approchée d’une racine. — L’idée de remplacer 
le calcul exact par un calcul approximatif est une idée dont la 
fécondité nous apparaîtra de plus en plus. Proposons-nous de 
l’appliquer au problème de l’extraction des racines. 
Nous avons vu (n° 37) que l’extraction de la racine p ième d’une 
fraction 
M 
m 
n’est pas toujours une opération possible. Je vais montrer 
en revanche que, quelle que soit la fraction on peut trouver une 
fraction ^ dont la puissance p ième diffère de ~ aussi peu que l'on 
N 
voudra. Il sera dès lors naturel de dire que la fraction — est une 
valeur approchée de la racine p ième de —. Ainsi, quoique cette 
racine p ième ne soit pas en général un nombre rationnel, nous 
pourrons la traiter comme si elle en était un et la représenter par 
sa valeur appprochée, que nous appellerons racine approchée. 
Cherchons, par exemple, « la valeur approchée de la racine 
M N 
de — à une unité près » — c’est-à-dire une fraction — dont la puis 
sance n ième diffère de — de moins d’une unité. Nous avons démon- 
1 m 
tré (n° 40) que, quel que soit l’entier p, si a et 6 sont deux nom 
bres quelconques, l’inégalité a <4 b, entraîne comme conséquence 
l’inégalité a p <C b v . Ecrivons alors la suite des nombres 
I, 2 2 ', 3l\ 4P, .... 
Celte suite est une suite croissante de nombres de plus en plus 
grands : j’en conclus qu’il y a, dans cette suite, deux termes conse 
cutifs a p , (a -t- i) 2 ', et deux seulement, entre lesquels est comprise 
la fraction — ; je dois donc regarder la racine p ime du terme ai j 
m J D