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LES NOMBRES 
En effet, les propriétés fondamentales des puissances a exposants 
entiers sont résumées (voir n os 9 et 36) par les égalités suivantes ( J ) : 
(1) a *’Xa« = a p+î 
( 2 ) ~ q = aP ~ q > si P > ( l ou % = ¡¡Fp» si ( l > p 
(3) (a?)* = aP-i = {ai}’. ' 
I 
Remarquons d’abord que la définition même des puissances a n , 
m 
a n donne 
i / m\ n 
(a«)"==a, \a' i r = a, 
ce qui est conforme à la propriété numérotée (3). 
Je dis, d’autre part, que les puissances fractionnaires jouissent 
de la propriété (i), c’est-à-dire que l’on a 
ni ni ni ^ ru 
a n x a n = a n n ' = a 
m. n' -)- in!. n 
n. n' 
•quelles que soient les fractions ( 2 ) —. 
m' 
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. Posons, en effet 
m m' rn.n'-j-m'.n 
b = a n , c — a n , d = a n - n 
Je tire de là, par définition : 
b n — a m , c n = a m ; donc b ,l - n '= a m - n ', c n '- n = a m '- n ; 
et, par conséquent 
(b x c) n ■ n ' = b n ■ n ‘ x c n ■ n ' r=z a m • n ' + m '- n ; d’où b Xc=d, 
ce qu’il fallait démontrer. 
Ln calcul analogue nous permettra de vérifier que les puissances 
(fi Les signes x et . s’emploient indistinctement dans le sens de 
multiplié par (n° 7) ; par [a’ J ) q j’entends « puissance çème de a p ». 
(‘) Les symboles m, n se lisent m prime, n prime; je m’en sers 
pour représenter des nombres autres que m et n, mais jouant un rôle 
équivalent (cf. p. i4, note 1).