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LES GRANDEURS 
Les systèmes d’unités et sous-unités ainsi définis, tels que Je 
système : kilomètre, hectomètre, mètre, décimètre..., ou Je système : 
kilogramme, hectogramme, gramme, décigramme..., sont des sys 
tèmes de mesures décimales ; leur ensemble constitue ce que 1 on 
appelle un « système décimal de mesures (Ç ». 
63. Mesures définies par des racines. — La mesure que 
nous venons de définir (comme nombre rationnel) est exacte ou 
approchée. La distinction ainsi établie entre deux sortes de mesures 
n’est point accidentelle, car il existe manifestement 
des grandeurs qui ne peuvent être exactement me 
surées par rapport à aucune fraction de l’unité. 
Considérons, par exemple, le triangle ABC (fig. 19 
F, S 1 9- qui est rectangle en A (c’est-à-dire où l’angle A 
est un angle droit), dont les côtés AB et AG sont égaux, et qui a une 
hypoténuse (côté BC opposé à l’angle droit) égale à 1 mètre. Le 
théorème de Pylhagore ( 2 ) nous apprend que la mesure exacte 
(en mètres) de la longueur AB ne pourrait être que la racine carré 
du nombre*; or cette racine, comme celle de 2, n’est pas un 
nombre rationnel ( 3 ) (n° 37). 
Nous pourrions, il est vrai, en ce cas encore, attribuer un sens 
aux mots « la mesure exacte » : celle-ci ne serait plus un nombre, 
mais elle serait du moins définie (déduite de l’unité) par une opé 
ration arithmétique simple (extraction de racine qui peut être 
effectuée, nous le savons, avec une approximation aussi grande 
que l’on veut, n° 48). 
N’est-il pas permis de généraliser celte manière de voir et de 
(b Le système de mesures adopté par la loi française (système mé 
trique) est, en majeure partie, décimal [vide infra, n° 104). 
(-) Vide infra, 199. 
D La longueur AB et l’unité sont, suivant Euclide, commensurables 
en puissance, car aux termes de la déf. du liv. X des Eléments, « deux 
segments sont commensurables en puissance si les carrés construits sur 
eux peuvent être mesurés [exactement] avec une même unité d’aire ». Le 
contemporain de Platon, Phéetète d’Athènes, avait fait une étude appro 
fondie des grandeurs définies par les figures géométriques classiques — 
qui sont incommensurables avec l’unité. La classification qu’il en avait 
donnée est sans doute, à peu de choses près, celle qu’expose Euclide 
au livre X des Eléments.