LES GRANDEURS
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garantie. Nous avons déjà dit que les géomètres ne pouvaient en
faire état et devaient avoir recours à une méthode théorique, seule
susceptible d’être rigoureusement précisé. G est pouiquoi ds
imaginèrent la méthode d exhaiistion (cf. n” 58y, que Ion
appellerait aujourd’hui méthode du passage à la limite ('). En
core, Euclide, le prudent, n’ose-t-il appliquer directement celte
méthode ( 2 ) au problème de la rectification du cercle dont les
termes mêmes ne lui paraissent pas logiquement recevables ;
car, pour seulement parler de la longueur du cercle mesurée avec
une unité rectiligne, il faudrait l’avoir définie, c’est-à-dire connaître
un procédé de construction géométrique (vide infra, ch. m, $ 5 ) qui
fournisse un segment « égal » à la circonférence du cercle : il
faudrait donc avoir déjà résolu le problème de mesure que précisé
ment l’on se pose. C’est le grand géomètre sicilien Archimède ( ;! )
qui résolut, le premier, ou plutôt trancha cette difficulté logique :
il comprit qu’en déterminant une mesure arbitrairement approchée
par excès ou par défaut de la longueur du cercle, on se trouve véri
fier par surcroît que cette longueur existe Ifj [j’entends : vérifier que
l’on pourrait, théoriquement, construire un segment rectiligne
qui soit égal à la circonférence] (ce qu’au n° 57 nous avons admis
comme intuitivement évident).
65. — Considérons ( ’), — pour appliquer la méthode d'exhaus-
lion — un carré ABCD (fig. 20) inscrit dans la circonférence
(') Voir sur le mot « limite » p. 55, note 2. Le mot « exhaustion » est du
xvn e siècle. On le trouve en particulier chez Grégoire de Saint-Vincent
(vide infra, 67).
( 2 ) En revanche Euclide applique, par exemple, la méthode d’exhaus-
tion, à la démonstration du théorème suivant : les aires de deux cercles
différents sont proportionnelles (vide n° 98) aux carrés de leurs diamètres :
ici, en effet, 1 assimilation de la circonférence à un contour rectiligne et
de l’aire du cercle à une aire polygonale n’est pas postulée.
( 3 ) Dans le traité intitulé : /.ux.Xoo fistpr^iç. Cf. Heath, The works of
Archimedes, Cambridge, 1897, p. 91.
( ) Sur les conditions auxquelles doivent satisfaire les valeurs appro
chées pour que cette conclusion soit valable, voir p. 80, note 2.
( 5 ) C’est la méthode suivie par Antiphon (5 e siècle av. J.-C.) qui s’ins
pire peut-être de la tradition pythagoricienne. Sur les moyens à employer
Pour construire le carré inscrit ou circonscrit — et les polygones réguliers
dont il sera question plus loin - voir le liv. II des Eléments d’EucLiDE
et tous les traités de géométrie.